Se saca una carta de una bolsa con cartas numeradas 1, 2 y 3, se anota su número y la carta se devuelve. Esto se repite cinco veces. Halla la probabilidad de que se anote un 3 exactamente una vez.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba que los ensayos son binomiales. La carta se devuelve cada vez, así que las cinco extracciones son independientes y todas tienen la misma probabilidad $p=\tfrac13$ de mostrar un $3$. Con un número fijo de ensayos $n=5$ y un conteo de éxitos, se aplica el modelo binomial:

   $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}$

2. 2

   Elige en qué ensayo sale el 3. El único $3$ puede caer en cualquiera de las cinco extracciones:

   $\binom{5}{1}=5$

   Omitir este factor es el error más frecuente y daría una respuesta cinco veces menor de lo debido.

3. 3

   Multiplica las probabilidades de un patrón fijo. Para una elección concreta de cuál extracción es el $3$: esa extracción tiene probabilidad $\tfrac13$, y cada una de las otras cuatro debe mostrar $1$ o $2$, con probabilidad $\tfrac23$ cada una:

   $\frac13\left(\frac23\right)^{4}=\frac13\cdot\frac{16}{81}=\frac{16}{243}$

4. 4

   Combina.

   $P=5\cdot\frac{16}{243}=\frac{80}{243}\approx 0.329$

   $\boxed{\dfrac{80}{243}}$

5. 5

   Contrasta con toda la distribución binomial. Las seis probabilidades $\binom5k(\tfrac13)^k(\tfrac23)^{5-k}$ para $k=0,\ldots,5$ son $\tfrac{32}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{40}{243},\tfrac{10}{243},\tfrac{1}{243}$, y suman $\tfrac{243}{243}=1$ ✓. El número esperado de $3$ es $np=\tfrac53\approx 1.67$, así que resulta totalmente esperable que $k=1$ sea uno de los dos resultados más probables.