Una muestra de N = 8 puntuaciones tiene suma X = 48 y suma X^2 = 351. Contrasta las puntuaciones frente a una media hipotética de 2.00: halla el valor t, decide si se rechaza la hipótesis nula y calcula el tamaño del efecto.

Step-by-step solution

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   Obtén la media muestral directamente de la suma.

   $\bar X=\frac{\sum X}{N}=\frac{48}{8}=6$

   Los datos brutos nunca hacen falta para una prueba $t$: $N$, $\sum X$ y $\sum X^{2}$ contienen toda la información que usa el contraste.

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   Usa la fórmula de cálculo de la suma de cuadrados. La definición $\sum(X-\bar X)^2$ exigiría las puntuaciones individuales, pero la forma algebraicamente equivalente no:

   $SS=\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}=351-\frac{48^{2}}{8}=351-288=63$

   $s^{2}=\frac{SS}{N-1}=\frac{63}{7}=9\qquad\Longrightarrow\qquad s=3$

   Dividir entre $N-1$ y no entre $N$ es lo que hace de $s^2$ un estimador insesgado de la varianza poblacional, y es también lo que fija los grados de libertad en $7$.

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   Convierte la desviación estándar muestral en un error estándar. El estadístico de contraste compara la media con $\mu_0$ en unidades de cuánto oscilaría una media muestral:

   $SE=\frac{s}{\sqrt N}=\frac{3}{\sqrt 8}=\frac{3}{2.8284}=1.0607$

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   Calcula el estadístico $t$.

   $t=\frac{\bar X-\mu_0}{SE}=\frac{6-2}{1.0607}=3.771\qquad(df=N-1=7)$

   Si tu lista de opciones no contiene ningún valor cercano a $3.77$, la respuesta correcta es "ninguna de las alternativas": no redondees para encajar en una opción vecina.

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   Compara con los valores críticos para 7 grados de libertad. Los valores críticos bilaterales son

   $t_{.05}=2.365,\qquad t_{.01}=3.499,\qquad t_{.001}=5.408$

   Como $3.771$ supera a $2.365$ y a $3.499$ pero no a $5.408$, la hipótesis nula se rechaza a los niveles .05 y .01, pero no a .001. El valor $p$ bilateral exacto es $0.0070$, que queda entre $.01$ y $.001$ exactamente como predice esa comparación.

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   Informa del tamaño del efecto, que la significación por sí sola no da. En un contraste para una muestra, la $d$ de Cohen mide la distancia en unidades de desviación estándar:

   $d=\frac{\bar X-\mu_0}{s}=\frac{6-2}{3}=1.33$

   Según los baremos habituales ($0.2$ pequeño, $0.5$ medio, $0.8$ grande) se trata de un efecto grande. Fíjate en que $d$ usa $s$, no $SE$: dividir entre $1.0607$ en lugar de entre $3$ sólo reproduciría el valor $t$.