Tres grupos de siete participantes cada uno dieron suma X = 36, 17 y 13 con suma X^2 = 200, 59 y 35 (suma X total = 66, suma X^2 total = 294, N = 21). Realiza un ANOVA de un factor e informa del tamaño del efecto eta cuadrada.

Step-by-step solution

1. 1

   Calcula el término de corrección una sola vez y reutilízalo. Toda suma de cuadrados de un ANOVA de un factor se construye a partir del mismo término del total general:

   $\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{66^{2}}{21}=\frac{4356}{21}=207.4286$

   Calcularlo una vez y arrastrar decimales de más evita la deriva de redondeo que hace que $SS_{\text{dentro}}$ salga negativo en los trabajos de los estudiantes.

2. 2

   Variabilidad total.

   $SS_{\text{total}}=\sum X^{2}_{\text{tot}}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=294-207.4286=86.5714$

3. 3

   Variabilidad explicada por la agrupación. Sustituye cada puntuación por la media de su grupo, lo que en forma resumida significa elevar al cuadrado el total de cada grupo y dividirlo entre el $n$ de ese grupo:

   $SS_{\text{entre}}=\sum\frac{\left(\sum X_j\right)^{2}}{n_j}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{36^{2}+17^{2}+13^{2}}{7}-207.4286$

   $=\frac{1296+289+169}{7}-207.4286=250.5714-207.4286=43.1429$

4. 4

   Tamaño del efecto: la parte de la varianza que explica la agrupación.

   $\eta^{2}=\frac{SS_{\text{entre}}}{SS_{\text{total}}}=\frac{43.1429}{86.5714}=0.4983\approx0.50$

   Como fracción exacta esto es $\frac{302/7}{606/7}=\frac{151}{303}$. Frente a los baremos habituales ($0.01$ pequeño, $0.06$ medio, $0.14$ grande), una $\eta^{2}$ de alrededor de $0.50$ es un efecto muy grande: la mitad de la variabilidad de las puntuaciones está asociada al grupo al que pertenecía cada participante.

5. 5

   Completa la tabla del ANOVA para confirmar que el resultado es significativo. La variabilidad restante es

   $SS_{\text{dentro}}=86.5714-43.1429=43.4286,\qquad df_{\text{entre}}=2,\quad df_{\text{dentro}}=18$

   $MS_{\text{entre}}=\frac{43.1429}{2}=21.571,\qquad MS_{\text{dentro}}=\frac{43.4286}{18}=2.413$

   $F=\frac{21.571}{2.413}=8.94$

6. 6

   Compara $F$ con su valor crítico. Para $df=(2,18)$, $F_{.05}=3.55$ y $F_{.01}=6.01$. Como $8.94$ supera a los dos (con $p=0.002$ exacto), se rechaza al nivel $.01$ la hipótesis nula de que los tres grupos proceden de la misma población, en consonancia con la $\eta^{2}$ tan grande. Las propias medias de los grupos, $5.14$, $2.43$ y $1.86$, muestran dónde está la diferencia.