Cinco elementos independientes ocurren cada uno con probabilidad 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los cinco y cuál es el número esperado de los que ocurren?

Step-by-step solution

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   Plantear el modelo. Sea $X$ el número de los cinco elementos que ocurren. Cada elemento ocurre de forma independiente con la misma probabilidad $p=0.2$, que es exactamente la definición de una variable aleatoria binomial:

   $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)=\mathrm{Bin}(5,\,0.2).$

   Nombrar el modelo desde el principio es lo que convierte las dos partes de la pregunta en consultas de una línea en lugar de razonamientos improvisados.

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   (a) Multiplicar las probabilidades por tratarse de eventos independientes. Para eventos independientes, la probabilidad de que ocurran todos es el producto de las probabilidades individuales:

   $P(X=5)=0.2\times0.2\times0.2\times0.2\times0.2=0.2^{5}=0.00032.$

   En porcentaje es $0.032\%$, aproximadamente una posibilidad entre $3125$, ya que $0.2=\tfrac15$ y $5^{5}=3125$. La independencia es imprescindible aquí; sin ella la regla del producto no se aplica.

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   Contrastar con la fórmula binomial. El término general es $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. Con $k=n=5$:

   $\binom{5}{5}(0.2)^{5}(0.8)^{0}=1\times0.00032\times1=0.00032 ✓,$

   lo que confirma que el producto directo y la probabilidad binomial formal coinciden.

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   (b) Usar la media de la binomial. El valor esperado de una variable binomial es

   $E[X]=np=5\times0.2=1.$

   La razón de fondo es la linealidad de la esperanza: se escribe $X=I_{1}+\cdots+I_{5}$, donde cada indicador $I_{j}$ vale $1$ si el elemento $j$ ocurre. Entonces $E[I_{j}]=p=0.2$ y $E[X]=5\times0.2=1$, y este argumento ni siquiera necesita la independencia.

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   Interpretar los dos números en conjunto. En promedio ocurre exactamente uno de los cinco elementos, y sin embargo que ocurran los cinco es rarísimo: $0.00032$. No hay contradicción: la distribución está muy sesgada hacia recuentos pequeños, con $P(X=0)=0.8^{5}=0.32768$ y $P(X=1)=5(0.2)(0.8)^{4}=0.4096$, que juntas acaparan cerca del $74\%$ de la probabilidad. La varianza $np(1-p)=0.8$ confirma que la dispersión es pequeña.