Se lanza un dado equilibrado cuatro veces. Describe el experimento con un espacio de probabilidad y halla la probabilidad de que salga un 1 como máximo tres veces.

Step-by-step solution

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   Construye el espacio de probabilidad. Un resultado es la lista ordenada de los cuatro valores, así que el espacio muestral es

   $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{4},\qquad |\Omega|=6^{4}=1296.$

   El dado es equilibrado y los lanzamientos son independientes, de modo que la medida es uniforme: cada uno de los $1296$ resultados tiene probabilidad $\tfrac{1}{1296}$.

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   Reescribe el suceso usando su complementario. Sea $X$ el número de $1$s entre los cuatro lanzamientos. «Como máximo tres» significa $X\in\{0,1,2,3\}$ — cuatro casos distintos. Su complementario es el único caso $X=4$:

   $P(X\le 3)=1-P(X=4).$

   Calcular un término en lugar de cuatro es toda la razón para usar aquí el complementario.

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   Cuenta los resultados del complementario. $X=4$ significa que en todos los lanzamientos sale un $1$, lo que es exactamente un resultado, $(1,1,1,1)$:

   $P(X=4)=\left(\frac{1}{6}\right)^{4}=\frac{1}{1296}.$

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   Resta.

   $P(X\le 3)=1-\frac{1}{1296}=\frac{1295}{1296}\approx 0.99923.$

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   Comprueba el orden de magnitud de la respuesta. Sacar cuatro $1$s seguidos es muy poco probable, así que «como máximo tres» debería ser casi seguro — y $0.99923$ lo es. Como contraste, el modelo binomial $X\sim B(4,\tfrac16)$ da $P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\tfrac16\right)^4\left(\tfrac56\right)^0=\tfrac{1}{1296}$, el mismo valor.