En una variante de piedra, papel o tijera, ganar con papel vale 5, ganar con piedra vale 1 y ganar con tijera vale 2, y quien pierde obtiene esa misma cantidad en negativo. ¿Qué estrategia mixta debe adoptar un jugador y cuál es el valor del juego?

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la matriz de pagos. Supón que el jugador de las filas elige piedra, papel o tijera con probabilidades $p$, $q$, $r$, donde $p+q+r=1$ y todas son no negativas. El papel gana a la piedra ($+5$), la piedra gana a la tijera ($+1$), la tijera gana al papel ($+2$), y cada derrota es la cantidad en negativo. El juego es de suma cero y simétrico —ambos jugadores enfrentan la misma matriz—, lo que ya nos dice que su valor debe ser $0$.

2. 2

   Calcula el pago esperado del jugador de las filas frente a cada respuesta pura.

   $E_{\text{piedra}}=0\cdot p+5q-1\cdot r=5q-r,$
   $E_{\text{papel}}=-5p+0\cdot q+2r=-5p+2r,$
   $E_{\text{tijera}}=1\cdot p-2q+0\cdot r=p-2q.$

3. 3

   Impón la condición de igualación. En un equilibrio mixto, el rival debe ser indiferente entre las tres respuestas; de lo contrario se pasaría a la mejor y nos explotaría. Por tanto

   $5q-r=-5p+2r=p-2q=v,$

   junto con $p+q+r=1$. Este principio de «volver indiferente al rival» es todo el método.

4. 4

   Resuelve el sistema lineal. De $5q-r=p-2q$ se obtiene $p=7q-r$. Sustituyendo en $p+q+r=1$:

   $(7q-r)+q+r=8q=1\;\Longrightarrow\;q=\tfrac18.$

   De $5q-r=-5p+2r$ se obtiene $5p+5q=3r$; con $p=\tfrac78-r$ esto queda $\tfrac{35}{8}-5r+\tfrac58=3r$, así que $8r=5$ y $r=\tfrac58$, de donde $p=\tfrac78-\tfrac58=\tfrac14.$

5. 5

   Lee el valor y verifícalo. Sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones, $v=p-2q=\tfrac14-\tfrac14=0$. Comprobando las tres: $5q-r=\tfrac58-\tfrac58=0$ ✓, $-5p+2r=-\tfrac54+\tfrac54=0$ ✓, $p-2q=0$ ✓, y $p+q+r=\tfrac28+\tfrac18+\tfrac58=1$ ✓. El valor $0$ confirma el argumento de simetría del paso 1.

6. 6

   Interpreta los pesos. La tijera es la jugada más frecuente ($\tfrac58$) aunque ganar con ella solo valga $2$, porque la tijera es la respuesta al papel, el arma más rentable del rival, y hay que desalentarla. El papel, el ganador que más puntúa, es el que menos se juega ($\tfrac18$). En los juegos de igualación, la probabilidad de una jugada refleja cuánto hay que reprimir la mejor opción del rival, no cuánto paga esa jugada en sí.