Dos sucesos independientes tienen cada uno una probabilidad del 73 por ciento. ¿Cuál es la probabilidad combinada?

Step-by-step solution

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   Advertir que la pregunta es ambigua, y decirlo. «Combinada» puede significar que ocurran ambos sucesos o que ocurra al menos uno. Son números distintos, y aquí la diferencia ronda los $40$ puntos porcentuales, así que hay que fijar la interpretación antes de hacer cualquier cálculo. Lo que nunca significa es sumar las dos: $73\%+73\%=146\%$ es imposible, porque una probabilidad no puede pasar de $1$.

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   Interpretación 1: ocurren los dos sucesos. Para sucesos independientes las probabilidades se multiplican:

   $P(A\text{ y }B)=P(A)\times P(B)=0.73\times0.73=0.5329=53.29\%$

   Exigir dos cosas a la vez es siempre más difícil que cualquiera de ellas por separado, así que la respuesta tiene que quedar por debajo del $73\%$ ✓.

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   Interpretación 2: ocurre al menos uno. Se usa el complementario: «al menos uno» falla únicamente cuando fallan los dos, y cada uno falla con probabilidad $1-0.73=0.27$:

   $P(\text{ninguno})=0.27\times0.27=0.0729$

   $P(\text{al menos uno})=1-0.0729=0.9271=92.71\%$

   Exigir solo una de dos oportunidades es más fácil que cualquiera de ellas por separado, así que esto tiene que superar el $73\%$ ✓.

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   Contrastar las dos respuestas entre sí. Los cuatro resultados disjuntos deben sumar $1$: ambos $=0.5329$, solo el primero $=0.73\times0.27=0.1971$, solo el segundo $=0.1971$, ninguno $=0.0729$. Al sumar: $0.5329+0.1971+0.1971+0.0729=1.0000$ ✓. Esto muestra además que exactamente uno ocurre con probabilidad $0.3942=39.42\%$.

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   Señalar dónde importa la independencia. Las dos fórmulas suponen que los sucesos no se influyen entre sí. Si estuvieran perfectamente correlacionados, «ambos» sería $73\%$ y «al menos uno» también sería $73\%$; si fueran mutuamente excluyentes, «ambos» sería $0$. La independencia es un supuesto que hay que declarar, no algo que se dé por hecho.

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   Resumir las dos respuestas. Ocurren los dos: $\mathbf{53.29\%}$. Ocurre al menos uno: $\mathbf{92.71\%}$. Todas las cifras anteriores se recalcularon y se verificó que los cuatro resultados suman exactamente $1$ ✓.