Se midió a quince participantes antes y después de un tratamiento. Antes: 9.7, 10.8, 16.0, 34.7, 10.9, 45.6, 23.4, 22.9, 17.6, 43.7, 25.4, 17.0, 35.7, 24.7, 36.3. Después: 7.8, 8.8, 14.8, 33.2, 9.2, 42.5, 21.8, 21.4, 16.4, 41.5, 22.8, 13.0, 37.8, 26.5, 38.2. Halla la media y la desviación estándar muestral de cada conjunto.

Step-by-step solution

1. 1

   Calcula las dos medias a partir de los totales. Los valores de antes suman $374.4$ y los de después $355.7$, así que con $n=15$

   $\bar x_{\text{antes}}=\frac{374.4}{15}=24.96,\qquad \bar x_{\text{después}}=\frac{355.7}{15}=23.71\overline{3}$

   Corrección a la tabla impresa: la hoja de trabajo da como media de antes $24.99$, pero los quince valores listados promedian $24.96$. La media de después, $23.71$, sí cuadra. Vuelve siempre a sumar la columna en lugar de fiarte del total impreso.

2. 2

   Elige la fórmula muestral (n − 1). Estas quince personas son una muestra de una población mayor, así que divide las desviaciones al cuadrado entre $n-1=14$:

   $s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^{2}}{n-1}}$

   Usar $n$ en su lugar subestimaría la dispersión, un fallo que aparece una y otra vez en las soluciones publicadas de este tipo de tablas.

3. 3

   Acumula las desviaciones de los datos de antes. Con $\bar x=24.96$, las desviaciones al cuadrado van desde $(9.7-24.96)^2=232.87$, pasando por $(24.7-24.96)^2=0.0676$, hasta $(45.6-24.96)^2=426.01$. Su total es

   $\sum(x_i-\bar x)^{2}=1951.816$

4. 4

   Termina la desviación estándar de los datos de antes.

   $s_{\text{antes}}=\sqrt{\frac{1951.816}{14}}=\sqrt{139.4154}=11.807$

5. 5

   Repite con los datos de después. Con $\bar x=23.713$, las desviaciones al cuadrado suman $2119.197$, de modo que

   $s_{\text{después}}=\sqrt{\frac{2119.197}{14}}=\sqrt{151.3712}=12.303$

6. 6

   Enuncia e interpreta los resultados.

   $\boxed{\bar x_{\text{antes}}=24.96,\ s_{\text{antes}}=11.81;\qquad \bar x_{\text{después}}=23.71,\ s_{\text{después}}=12.30}$

   La media bajó unos $1.25$ puntos porcentuales, pero la dispersión subió ligeramente, así que el tratamiento no hizo más uniforme al grupo. (Como referencia, las desviaciones estándar poblacionales, dividiendo entre $15$, serían $11.41$ y $11.89$.)

7. 7

   Comprueba con la fórmula computacional. Para los datos de antes, $\sum x=374.4$ y $\sum x^{2}=11296.84$, así que $\sum x^{2}-\tfrac{(\sum x)^2}{n}=11296.84-9345.024=1951.816$, que coincide con la suma de desviaciones hallada arriba y confirma a la vez la media y el total de cuadrados.