Una encuesta registró las edades de 25 clientes: 20, 32, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 28, 12, 39, 23, 43, 47, 27, 26, 23, 32, 36, 33, 35, 42, 42, 43, 47. Halla el primer y el tercer cuartil con el método de Tukey y compáralos con los cuartiles que se obtienen al excluir la mediana.

Step-by-step solution

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   Ordena los datos — toda regla de cuartiles es una regla sobre posiciones, así que el orden va primero.

   $12,\ 15,\ 20,\ 23,\ 23,\ 26,\ 27,\ 28,\ 28,\ 30,\ 31,\ 32,\ \underline{32},\ 32,\ 33,\ 35,\ 35,\ 36,\ 39,\ 42,\ 42,\ 43,\ 43,\ 47,\ 47$

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   Halla la mediana. Con $n=25$ (impar) la mediana es el único valor central, en la posición $\frac{25+1}{2}=13$:

   $M=32$

   Aquí es donde las dos convenciones se separan: la mediana es un dato real, así que existe una decisión genuina sobre si pertenece a la mitad inferior, a la superior, a las dos o a ninguna.

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   Aplica la regla de Tukey: la mediana entra en las dos mitades. Las bisagras de Tukey se definen como las medianas de la mitad inferior y de la superior incluyendo la mediana global. La mitad inferior son entonces los primeros $13$ valores y la superior los últimos $13$:

   $\text{inferior: } 12,\,15,\,20,\,23,\,23,\,26,\,\underline{27},\,28,\,28,\,30,\,31,\,32,\,32$

   $\text{superior: } 32,\,32,\,33,\,35,\,35,\,36,\,\underline{39},\,42,\,42,\,43,\,43,\,47,\,47$

   Cada mitad tiene una cantidad impar de datos, así que cada bisagra es de nuevo un único valor central — el $7$.º de $13$:

   $Q_1=27,\qquad Q_3=39$

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   Compara con la convención excluyente que usan la mayoría de las calculadoras y hojas de cálculo. Al quitar la mediana de las dos mitades quedan $12$ valores de cada lado, así que cada cuartil es el promedio de dos vecinos:

   $Q_1=\frac{26+27}{2}=26.5,\qquad Q_3=\frac{39+42}{2}=40.5$

   Las dos respuestas son «correctas» — son definiciones distintas, no aritmética distinta. Solo pueden discrepar cuando $n$ es impar, porque ese es el único caso en que un dato queda exactamente en la mediana.

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   Calcula el rango intercuartílico (RIC) con cada regla y observa el efecto.

   $\text{RIC}_{\text{Tukey}}=39-27=12,\qquad \text{RIC}_{\text{excluyente}}=40.5-26.5=14$

   Incluir la mediana acerca ambas bisagras al centro, de modo que la regla de Tukey siempre da un RIC igual o menor. Todo lo que se construye sobre el RIC — los bigotes de un diagrama de caja, las vallas de atípicos de $1.5\,\text{RIC}$ — se desplaza en consecuencia, y por eso un informe debería indicar qué convención usó.

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   Revisa las vallas para ver la consecuencia práctica. Con los valores de Tukey las vallas de atípicos son $27-1.5(12)=9$ y $39+1.5(12)=57$; con los valores excluyentes son $26.5-1.5(14)=5.5$ y $40.5+1.5(14)=61.5$. Ninguna de las dos reglas marca como atípica ninguna de las $25$ edades (los extremos son $12$ y $47$), así que aquí la elección de convención no cambia la conclusión — pero fácilmente podría hacerlo en un conjunto con una cola más larga.