Un mazo de 60 cartas contiene 5 cartas marcadas A y 23 cartas distintas marcadas B. Se extraen cinco cartas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco cartas incluyan al menos una A y al menos una B?

Step-by-step solution

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   Cuenta los tres grupos disjuntos de cartas. Las marcas no se solapan, así que el mazo se reparte en

   $5\ \text{marcadas A},\qquad 23\ \text{marcadas B},\qquad 60-5-23=32\ \text{sin marcar}$

   Cada recuento posterior es una elección de $5$ cartas de uno de estos submontones, y el número total de manos igualmente probables es

   $\binom{60}{5}=5{,}461{,}512$

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   Pasa a los complementarios: “al menos una… y al menos una…” es doloroso de atacar de frente. Contar las manos con $1$ A, $2$ A, $3$ A… mientras se controlan a la vez las B obliga a una suma doble. En su lugar, sean

   $A=\{\text{al menos una A}\},\qquad B=\{\text{al menos una B}\}$

   y aplica inclusión–exclusión al complementario:

   $P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)$

   Los tres sucesos complementarios describen manos extraídas de un único montón restringido, así que cada uno es un solo coeficiente binomial. El término $+P(A^c\cap B^c)$ es imprescindible: las manos sin ninguna marca se restaron dos veces y hay que volver a sumarlas una vez.

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   Cuenta las manos sin ninguna A. Salen de las $60-5=55$ cartas que no son A:

   $P(A^c)=\frac{\binom{55}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{3{,}478{,}761}{5{,}461{,}512}=0.63696$

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   Cuenta las manos sin ninguna B. Salen de las $60-23=37$ cartas que no son B:

   $P(B^c)=\frac{\binom{37}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{435{,}897}{5{,}461{,}512}=0.07981$

   Que esta probabilidad sea pequeña es la comprobación que cabía esperar: con $23$ de las $60$ cartas marcadas con B, fallarlas todas en cinco extracciones debería ser poco probable.

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   Cuenta las manos sin ninguna marca. Se extraen sólo de las $32$ cartas sin marcar:

   $P(A^c\cap B^c)=\frac{\binom{32}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{201{,}376}{5{,}461{,}512}=0.03687$

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   Combina. Poniendo los cuatro recuentos sobre el denominador común $\binom{60}{5}$:

   $P(A\cap B)=\frac{5{,}461{,}512-3{,}478{,}761-435{,}897+201{,}376}{5{,}461{,}512}=\frac{1{,}748{,}230}{5{,}461{,}512}$

   $P(A\cap B)=0.32010\approx32.0\%$

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   Contrasta el resultado con una expectativa aproximada. La probabilidad de pescar al menos una A por sí sola es $1-0.63696=0.36304$, y la de al menos una B es $1-0.07981=0.92019$. Si los dos sucesos fueran independientes, el producto sería $0.36304\times0.92019=0.33406$; la respuesta verdadera $0.32010$ es algo menor, que es justo lo que corresponde: los sucesos están ligeramente correlacionados de forma negativa, porque los huecos de la mano de cinco cartas que ocupa una A son huecos que ya no puede ocupar una B.