Una variable aleatoria continua X tiene densidad f(x) = x para 0 < x ≤ 1, f(x) = 2 − x para 1 ≤ x < 2, y 0 en otro caso. Hallar E(X) y Var(X).

Step-by-step solution

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   Comprobar que $f$ es realmente una densidad. Una función de densidad legítima es no negativa e integra $1$:

   $\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\frac12+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac12+\left(2-\frac32\right)=\frac12+\frac12=1$

   Geométricamente es un triángulo de base $2$ y altura $1$, de área $\frac12\cdot2\cdot1=1$. Confirmarlo de entrada es un seguro barato contra una pieza mal copiada.

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   Calcular $E(X)$ trozo a trozo. Como la densidad está definida en dos trozos, la integral de la esperanza se parte en $x=1$:

   $E(X)=\int_0^1x\cdot x\,dx+\int_1^2x(2-x)\,dx=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2\left(2x-x^{2}\right)dx$

   $=\frac13+\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^2=\frac13+\left(\frac43-\frac23\right)=\frac13+\frac23=1$

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   Notar el atajo que se podría haber usado. El triángulo es simétrico respecto de $x=1$: $f(1-u)=1-u$ y $f(1+u)=1-u$ para $0\le u\le1$. Para cualquier densidad simétrica respecto de un punto, la media es ese punto, así que $E(X)=1$ sin integrar nada. La integral de arriba queda entonces solo como comprobación.

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   Calcular $E(X^{2})$, que la simetría no regala.

   $E(X^{2})=\int_0^1x^{3}dx+\int_1^2x^{2}(2-x)\,dx=\frac14+\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_1^2$

   Evaluando el corchete en $2$ se obtiene $\frac{16}{3}-4=\frac43$; en $1$ da $\frac23-\frac14=\frac{5}{12}$. Así que la segunda integral vale $\frac43-\frac{5}{12}=\frac{11}{12}$ y

   $E(X^{2})=\frac14+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

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   Aplicar la fórmula abreviada de la varianza.

   $D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\frac76-1^{2}=\frac{7}{6}-\frac{6}{6}=\frac16\approx0.1667$

   La desviación estándar es $\sqrt{1/6}=0.408$.

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   Comprobar que la respuesta es plausible. Toda la probabilidad vive en $(0,2)$, un intervalo de longitud $2$, así que la desviación estándar debe quedar bastante por debajo de $1$; $0.408$ encaja sin problema. También es menor que el $0.577$ de una distribución uniforme en $(0,2)$, lo cual es exactamente lo esperado — la densidad triangular concentra masa cerca de su centro en lugar de repartirla de manera uniforme.