Tienes 8 caramelos idénticos y 4 galletas idénticas para repartir entre 3 niños (dos varones y una niña). ¿De cuántas formas se puede hacer si (a) cada niño recibe al menos uno de cada tipo, (b) cada niño recibe exactamente cuatro artículos, (c) la niña recibe más caramelos que cualquiera de los varones y los varones reciben el mismo número de galletas?

Step-by-step solution

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   Prepara la herramienta. El número de formas de repartir $n$ artículos idénticos entre $k$ niños distintos de modo que cada uno reciba al menos $1$ es $\binom{n-1}{k-1}$; si se permite el cero, es $\binom{n+k-1}{k-1}$. Los caramelos y las galletas se reparten de forma independiente, así que en cada apartado los dos conteos se multiplican.

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   Apartado (a): cada niño recibe al menos uno de cada tipo. Para los caramelos, $\binom{8-1}{2}=\binom72=21$; para las galletas, $\binom{4-1}{2}=\binom32=3$. Multiplicando,

   $21\times 3=63.$

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   Apartado (b): cada niño recibe exactamente cuatro artículos. Aquí los dos repartos ya no son independientes: el número de galletas determina el de caramelos. Si el niño $i$ recibe $k_i$ galletas, entonces recibe $4-k_i$ caramelos, y $\sum k_i=4$ fuerza automáticamente $\sum(4-k_i)=12-4=8$ caramelos. Por eso basta contar los repartos de galletas permitiendo ceros:

   $\binom{4+2}{2}=\binom62=15.$

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   Apartado (c), galletas: los varones deben recibir la misma cantidad. Si cada varón recibe $k$ galletas, la niña recibe $4-2k$, lo que exige $k\in\{0,1,2\}$: tres posibilidades.

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   Apartado (c), caramelos: la niña supera a los dos varones. Enumera según la parte $g$ de la niña, con las partes de los varones sumando $8-g$ y cada una menor que $g$:

   $g=4:3,\quad g=5:4,\quad g=6:3,\quad g=7:2,\quad g=8:1,$

   y $g\le 3$ es imposible, porque entonces los varones necesitarían $\ge 5$ caramelos entre los dos con cada uno por debajo de $3$. Eso da un total de $3+4+3+2+1=13$ repartos de caramelos.

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   Combina para el apartado (c) y resume.

   $13\times 3=39.$

   Así que las tres respuestas son $\mathbf{63}$, $\mathbf{15}$ y $\mathbf{39}$. Una enumeración directa por computadora sobre todos los repartos reproduce exactamente cada uno de estos conteos.