Tres cañones disparan de forma independiente a un blanco con probabilidades de acierto 0.2, 0.3 y 0.5. Halla (1) la probabilidad de que al menos un cañón acierte en el blanco y (2) la probabilidad de que acierte exactamente uno.

Step-by-step solution

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   Nombra los sucesos y sus fallos. Sean $A_1,A_2,A_3$ los aciertos, con $P(A_1)=0.2$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.5$. La independencia significa que las probabilidades se multiplican, y las probabilidades de fallo son los complementarios $0.8$, $0.7$ y $0.5$.

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   (1) Usa el complementario en lugar de una unión de tres sucesos. La inclusión–exclusión sobre tres sucesos necesita siete términos; el complementario necesita un solo producto:

   $P(\text{al menos un acierto})=1-P(\text{los tres fallan})=1-(0.8)(0.7)(0.5)$

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   Evalúa.

   $(0.8)(0.7)(0.5)=0.28\quad\Longrightarrow\quad P=1-0.28=0.72$

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   (2) Enumera las tres formas mutuamente excluyentes de tener exactamente un acierto. Exactamente un acierto significa que un cañón acierta y los otros dos fallan:

   $P=\underbrace{(0.2)(0.7)(0.5)}_{\text{solo el cañón 1}}+\underbrace{(0.8)(0.3)(0.5)}_{\text{solo el cañón 2}}+\underbrace{(0.8)(0.7)(0.5)}_{\text{solo el cañón 3}}$

   Fíjate en que la probabilidad propia de cada cañón aparece una vez y las de los otros dos entran como fallos — un punto muy habitual para resbalar.

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   Suma los tres términos.

   $0.07+0.12+0.28=0.47$

   $\boxed{P(\text{al menos uno})=0.72,\qquad P(\text{exactamente uno})=0.47}$

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   Comprueba con la distribución completa. Las probabilidades de $0,1,2,3$ aciertos son $0.28$, $0.47$, $0.22$ y $0.03$ (para dos aciertos: $0.2\cdot 0.3\cdot 0.5+0.2\cdot 0.7\cdot 0.5+0.8\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03+0.07+0.12=0.22$; para tres: $0.2\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03$). Suman $1.00$ ✓, y $0.47+0.22+0.03=0.72$ reproduce el apartado (1).