El cincuenta por ciento de los consumidores prefiere comprar electrónica por internet. Se eligen al azar 8 consumidores. Halla la probabilidad de que el número que prefiere comprar por internet sea (a) exactamente cinco, (b) más de cinco y (c) a lo sumo cinco.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la distribución. Ocho consumidores independientes, cada uno de los cuales prefiere internet o no, con probabilidad fija $p = 0.5$: esto es una binomial con $n = 8$, $p = 0.5$. La probabilidad de exactamente $k$ éxitos es

   $P(k) = \binom{8}{k}(0.5)^k(0.5)^{8-k} = \binom{8}{k}\frac{1}{256}$

   Como $p = 0.5$, las potencias se reducen a la única constante $\tfrac{1}{2^8} = \tfrac{1}{256}$, así que todo el problema se convierte en contar.

2. 2

   (a) Exactamente cinco. $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5!\,3!} = 56$, así que

   $P(5) = \frac{56}{256} = 0.21875 \approx 0.219$

3. 3

   (b) Más de cinco. «Más de cinco» significa $6$, $7$ u $8$, así que hay que sumar tres términos. $\binom{8}{6} = 28$, $\binom{8}{7} = 8$, $\binom{8}{8} = 1$:

   $P(X > 5) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} = 0.144531 \approx 0.145$

   Fíjate en que $X > 5$ excluye el $5$: incluirlo por error añadiría $0.219$.

4. 4

   (c) A lo sumo cinco, por el complemento. «A lo sumo cinco» significa $X \le 5$, que es todo salvo $X > 5$:

   $P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256} = 0.855469 \approx 0.855$

   Esto es mucho más rápido que sumar los seis términos $k = 0,\ldots,5$.

5. 5

   Comprueba que las piezas son coherentes. Sumando los $2^8$ resultados: $\binom{8}{0}+\cdots+\binom{8}{8} = 256$, así que las probabilidades totalizan exactamente $1$ ✓. Además $P(X \le 5) + P(X > 5) = \tfrac{219}{256} + \tfrac{37}{256} = 1$ ✓, y $\tfrac{219}{256}$ se confirmó sumando directamente $1+8+28+56+70+56 = 219$.

6. 6

   Contrasta la forma de la distribución. Con $p = 0.5$ la distribución es simétrica respecto de la media $np = 4$, así que $P(5)$ debería coincidir con $P(3)$: en efecto, $\binom{8}{3} = 56$ también ✓. Y como más de la mitad de la masa está en $4$ o por debajo, un valor de $0.855$ para $P(X \le 5)$ tiene justo el tamaño que corresponde.