A quince participantes se les midió el IMC antes y después de un programa de entrenamiento. Antes: 19.24, 20.50, 23.00, 31.90, 22.00, 34.30, 25.80, 23.70, 20.10, 32.40, 25.10, 25.00, 27.67, 23.48, 28.49. Después: 18.50, 19.50, 21.90, 27.00, 21.70, 33.70, 24.80, 22.50, 19.80, 31.20, 23.93, 23.00, 28.99, 24.30, 28.92. Contrasta al nivel del 5% si el programa cambió el IMC medio.

Step-by-step solution

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   Reconoce que las dos columnas no son muestras independientes. Cada fila es una misma persona medida dos veces, así que los números de "antes" y de "después" están ligados por parejas. Una prueba $t$ de dos muestras los trataría como $30$ observaciones sin relación y quedaría ahogada por la enorme dispersión entre personas (aquí el IMC va de $19$ a $34$). Trabajar con las $15$ diferencias cancela el nivel de partida de cada persona y deja sólo el efecto del programa, y por eso la prueba pareada es mucho más sensible.

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   Forma las diferencias $d_i=\text{antes}-\text{después}$.

   $0.74,\;1.00,\;1.10,\;4.90,\;0.30,\;0.60,\;1.00,\;1.20,\;0.30,\;1.20,\;1.17,\;2.00,\;-1.32,\;-0.82,\;-0.43$

   Doce de las quince son positivas (el IMC bajó) y tres son negativas. Las hipótesis se plantean sobre la diferencia media $\mu_d$:

   $H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\neq 0$

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   Calcula la media y la desviación estándar de las diferencias. Las diferencias suman $382.68-369.74=12.94$, así que

   $\bar d=\frac{12.94}{15}=0.8627$

   $s_d=\sqrt{\frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{27.9933}{14}}=1.4140$

   Usa $n-1=14$ en el denominador, no $n$: la media muestral ya se ha ajustado a los datos, así que sólo $14$ de las desviaciones son libres de variar.

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   Convierte la diferencia media en un estadístico $t$. El error estándar de $\bar d$ es

   $s_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}=\frac{1.4140}{\sqrt{15}}=0.3651$

   $t=\frac{\bar d-0}{s_{\bar d}}=\frac{0.8627}{0.3651}=2.363$

   con $df=n-1=14$. El estadístico no es más que "a cuántos errores estándar del cero está la bajada observada".

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   Compara con el valor crítico y lee el valor $p$. Para un contraste bilateral con $\alpha=0.05$ y $14$ grados de libertad, el valor crítico es $t^{*}=2.145$.

   $|t|=2.363>2.145$

   El valor $p$ bilateral correspondiente es $p\approx 0.033$, por debajo de $0.05$. Se rechaza $H_0$: el cambio del IMC medio es estadísticamente significativo.

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   Informa de un intervalo de confianza, porque el valor $p$ por sí solo esconde la magnitud del efecto.

   $\bar d\pm t^{*}s_{\bar d}=0.8627\pm 2.145(0.3651)=0.8627\pm 0.7832$

   $95\%\text{ IC para }\mu_d:\;(0.0795,\;1.6458)$

   El intervalo excluye el $0$, la misma conclusión que el contraste. Pero además muestra que la bajada podría ser tan pequeña como $0.08$ puntos de IMC: detectable estadísticamente y, en el extremo inferior, de poca relevancia clínica. Ten en cuenta también que un único grupo medido dos veces no tiene grupo de control, así que el cambio no puede atribuirse sólo al programa.