Una caja contiene 6 bolas rojas y 6 bolas azules. Se extraen seis bolas de una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de ellas sean rojas?

Step-by-step solution

1. 1

   Contar el espacio muestral. Las bolas se extraen todas a la vez, así que el orden no importa y todos los conjuntos de $6$ bolas entre las $12$ son igualmente probables:

   $\binom{12}{6}=924.$

2. 2

   Usar el complemento en lugar de cinco casos por separado. «Al menos $2$ rojas» abarca $2,3,4,5,6$ rojas: cinco recuentos que calcular. Su complemento abarca solo dos: $0$ rojas o $1$ roja. Así que se calcula

   $P(\text{al menos }2\text{ rojas})=1-P(0\text{ rojas})-P(1\text{ roja}).$

   Siempre que «al menos $k$» deje menos casos del otro lado, el complemento es el camino más corto.

3. 3

   Contar las extracciones sin ninguna bola roja. Las seis bolas extraídas tienen que ser azules, y hay exactamente $6$ bolas azules, así que solo existe un conjunto así:

   $\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\cdot 1=1.$

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   Contar las extracciones con exactamente una bola roja. Se elige $1$ de las $6$ rojas y $5$ de las $6$ azules; las dos elecciones son independientes, así que se multiplican:

   $\binom{6}{1}\binom{6}{5}=6\cdot 6=36.$

   En conjunto, el complemento contiene $1+36=37$ de las $924$ extracciones posibles.

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   Restar para obtener la respuesta.

   $P=1-\frac{37}{924}=\frac{924-37}{924}=\frac{887}{924}\approx 0.9600.$

   La fracción ya es irreducible ($924=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ no comparte ningún factor con $887$, que es primo). Una enumeración exhaustiva de los $924$ subconjuntos cuenta $887$ con dos o más rojas, lo que confirma el resultado; y una probabilidad cercana al $96\%$ tiene sentido, porque sacar media caja evitando casi por completo uno de los colores es muy improbable.