Una bolsa contiene diez bolas idénticas numeradas del 1 al 10. Se extraen tres bolas al azar y se anotan sus números. Halla (1) la probabilidad de que el número menor sea 5 y (2) la probabilidad de que el número mayor sea 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Cuenta el espacio muestral. Todos los subconjuntos de $3$ elementos de $\{1,\ldots,10\}$ son equiprobables:

   $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$

2. 2

   Traduce "el menor es 5" a una restricción. Significa que $5$ es uno de los tres números y que los otros dos superan a $5$. Los números por encima de $5$ son $6,7,8,9,10$: cinco de ellos.

3. 3

   (1) Cuenta y divide.

   $\binom{5}{2}=10\quad\Longrightarrow\quad P(\min=5)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\approx 0.0833$

4. 4

   Traduce "el mayor es 5". Ahora $5$ tiene que salir y los otros dos deben quedar por debajo de él, elegidos entre $1,2,3,4$: solo cuatro candidatos.

5. 5

   (2) Cuenta y divide.

   $\binom{4}{2}=6\quad\Longrightarrow\quad P(\max=5)=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}=0.05$

   $\boxed{P(\min=5)=\tfrac{1}{12},\qquad P(\max=5)=\tfrac{1}{20}}$

6. 6

   Comprueba toda la distribución del mínimo. Para $\min=k$ el recuento es $\binom{10-k}{2}$, así que al sumar sobre $k=1,\ldots,8$ se obtiene $\binom92+\binom82+\cdots+\binom22=36+28+21+15+10+6+3+1=120$ ✓, que coincide con el espacio muestral. La asimetría entre las dos respuestas es esperable: hay más números por encima de $5$ que por debajo, así que es más probable que $5$ sea el menor que el mayor.