Una prueba da el estadístico chi-cuadrado(1) = 137.38. Halla el valor p.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica qué es aquí un p-valor. El $p$-valor es la probabilidad de la cola superior $P\!\left(\chi^2_1 \ge 137.38\right)$: la posibilidad de observar un estadístico al menos así de extremo si la hipótesis nula fuera cierta. Una prueba chi-cuadrado siempre es de una cola a la derecha, porque las desviaciones en cualquiera de los dos sentidos inflan el estadístico.

2. 2

   Usa la identidad que vincula la chi-cuadrado con 1 gl con la normal estándar. Si $Z\sim N(0,1)$, entonces $Z^2 \sim \chi^2_1$. Por lo tanto $P\!\left(\chi^2_1 \ge c\right) = P\!\left(|Z| \ge \sqrt{c}\right) = 2\left(1-\Phi\!\left(\sqrt{c}\right)\right).$ Esto convierte una cola de chi-cuadrado poco familiar en una cola normal de todos los días.

3. 3

   Convierte el estadístico en una puntuación z. $\sqrt{137.38} = 11.720921\ldots$ de modo que el efecto observado está a casi $11.7$ errores estándar del valor nulo.

4. 4

   Evalúa la cola normal de dos lados. En forma cerrada, $2\left(1-\Phi(z)\right)=\operatorname{erfc}\!\left(z/\sqrt{2}\right)$, así que $p = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{137.38/2}\right) = \operatorname{erfc}(8.287943) \approx 9.96\times 10^{-32}.$

5. 5

   Confirma con la cota asintótica de la cola. Para $z$ grande, $1-\Phi(z)\approx \dfrac{e^{-z^2/2}}{z\sqrt{2\pi}}$, lo que da $p \approx \dfrac{2e^{-68.69}}{11.7209\sqrt{2\pi}} \approx 1.00\times10^{-31}$ - el mismo orden de magnitud, así que el valor calculado es confiable.

6. 6

   Interpreta el resultado. Como $p \approx 10^{-31}$ es astronómicamente menor que cualquier umbral habitual, como $0.05$ o $0.001$, la hipótesis nula se rechaza de manera contundente. El software suele imprimir esto como p < 0.001 o incluso p = 0; repórtalo como $p<0.001$ y no literalmente como cero.