看完不会？让 AI 一步步解给你看

Statistics questions asked by real students

Real statistics questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

色盲概率问题：P(色盲)=0.02625，已知色盲求是男性的概率

男性中 5% 色盲、女性中 0.25% 色盲，且男女各占一半，全概率公式给出总色盲率 0.02625；再用贝叶斯定理得 P(男性 | 色盲) = 0.025/0.02625 = 20/21 ≈ 0.952。

贝叶斯定理例题：含「lottery」的邮件是垃圾邮件的概率

答案是 P(垃圾邮件 | 含该词) = 7/12 ≈ 58.33%。先用全概率公式求出「邮件含 lottery」的总概率 0.24，再用贝叶斯定理把条件反过来，并用 1000 封邮件的计数法复核。

n=8、p=0.5 的二项分布：恰好 5 人、多于 5 人、至多 5 人

三个答案分别是 0.219、0.145 和 0.855。由于 p = 0.5，每种结果的权重都是 1/256，整道题就化成了数组合数：56、37 和 219。

二项分布：10 人中少于 4 人的概率怎么算

当 n = 10、p = 0.66 时，P(X < 4) 约为 0.022。把 X = 0、1、2、3 四项相加，每一项都是组合数乘以 0.66 的 k 次方再乘以 0.34 的 (10 − k) 次方。

8 位消费者中恰好 5 人网购：p = 0.5 的二项概率三问

P(5) = 0.219，P(X > 5) = 0.145，P(X ≤ 5) = 0.855。因为 p = 0.5，各种结果等可能，三个答案都是杨辉三角第 8 行的数除以 256。

3:2:1 比例的卡方拟合优度检验：χ²=5.84 该不该拒绝

卡方统计量恰好等于 5.84，自由度为 2，小于临界值 5.991，所以在 0.05 显著性水平下不能拒绝 3:2:1 的预测比例，但结论只是勉强通过。

由 ΣX 和 ΣX² 求两组的 Cohen's d 效应量

喜剧组与对照组的 Cohen's d ≈ 0.37。先用计算公式由 ΣX、ΣX² 求出两组均值与离差平方和，再合并方差得到合并标准差，并说明分母为什么用标准差而不是标准误。

由 ΣX 和 ΣX² 求效应量 d：N = 8 的单样本例题

效应量 d = 1.33，属于大效应。先算 SS = 351 − 48²/8 = 63 得 s = 3，再把 4 分的均值差除以 s——除的是标准差，不是标准误。

两个 73% 的概率合起来：53.29% 还是 92.71%

两个都发生是 0.73² = 53.29%，至少一个发生是 1 − 0.27² = 92.71%。「合起来」这个说法本身有歧义，两种理解相差将近 39 个百分点。

两组均值都是 12 的数据，哪一组的波动更大

B 组的标准差 3.29，A 组只有 2.35，所以 B 组波动更大。两组容量、均值、极差全都相同，胜负只看离差平方和：184 对 94。

用双向频数表求条件概率：114/250 = 0.456

概率是 0.456。以「黑人」为条件后，样本空间缩小到这一行的合计 250，所以要用 114 除以 250，而不是除以总数 1438。

条件概率 P(白人 | 隔代家庭) = 53/99 怎么算

概率是 0.535。以「隔代家庭」为条件之后，分母换成这一列的合计 99，白人与隔代交叉的格子是 53，于是 53/99 ≈ 0.535。

按家庭收入分层的幸福感条件比例怎么算怎么读

收入是解释变量，幸福感是响应变量。三行的行百分比 12.8/61.4/25.8、13.3/64.0/22.7、13.2/58.8/28.0 几乎一模一样，说明两者的关联很弱。

n = 278 的大样本：总体均值的 95% 置信区间怎么算

95% 置信区间是 (3.94, 13.72)。依次算出标准误 41.40/√278 = 2.483、t 临界值 1.969 和误差界 4.89，再用样本均值加减误差界即可。

37 名学生三列成绩的描述性统计分析

三列的均值分别为 70.43、69.70、78.54，样本标准差为 20.67、20.17、13.80。有两名学生前两列得 0 分，把极差分别拉大到 90 和 92，本文给出完整算法与离群值判定。

21 个测量值的均值、中位数、众数与标准差

这 21 个 2.4 附近的数据，均值 2.4405、中位数 2.44、极差 0.16、样本标准差 s = 0.0432。数据是三众数的：2.40、2.43、2.49，五项统计量逐一算给你看。

8 颗糖和 4 块饼干分给三个小孩，有多少种分法

三问的答案分别是 63、15 和 39。用隔板法分别处理糖和饼干，因为两种物品的分配互相独立，把两个计数相乘即可。

七笔开支的平均值，以及让八人均值降到 2,110 美元的第八笔

七位朋友的平均开支是 2,179.29 美元，高于 2,110 美元的估计值；Ashley 自己只有花 1,625 美元，才能把八个人的平均值拉回 2,110 美元。

两组各 15 人得分频数表：3,5,4,2,1 与 0,1,3,6,5

低数字交流组 1 到 5 分的频数是 3,5,4,2,1，高交流组是 0,1,3,6,5。做法是只扫一遍数据逐个划记，再用每列合计等于 15 来检验；高分组 1 分处频数为 0，不能因为没人就漏掉这一行。

用 1.5 倍四分位距法则判断异常值：36 块地面积实例

均值 48.00 明显高于中位数 32.50，分布右偏。四分位距为 39.46，上下界限是 −41.17 和 116.67，最大值 248 远超上界限，是异常值；最小值 7 落在界内。

联合密度 A(2−x−y)：求 A、P(2X−Y<1) 和两个分布函数值

在三角形区域上归一化得 A = 2；以 x = 1/2 分块积分得 P(2X − Y < 1) = 7/12；对角落区域积分得 F(1/2, 1/4) = 19/64，而 F(1/2, −1) = 0。

f(x,y) = cx 在 0 < x ≤ 1、0 ≤ y ≤ x 上：c = 3，且 X 与 Y 不独立

归一化给出 c = 3。边缘密度分别是 (0,1] 上的 3x² 与 [0,1] 上的 (3/2)(1 − y²)，两者之积不等于联合密度，所以 X 与 Y 不独立。

f(x,y) = cx²y 在 x² ≤ y ≤ 1 上：求 c = 21/4 与两个边缘密度

在抛物线 y = x² 与直线 y = 1 之间的区域上归一化得 c = 21/4。边缘密度分别是 [−1,1] 上的 (21/8)x²(1 − x⁴) 与 [0,1] 上的 (7/2)y^(5/2)。

十五名参与者训练前后体重的均值与样本标准差

训练前均值 77.81 kg、标准差 15.94 kg；训练后均值 76.20 kg、标准差 16.19 kg。分母要用 n − 1 = 14 而不是 n，并说明这只是描述统计，判断 1.61 kg 的下降是否显著需要配对样本 t 检验。

每日缺勤人数分布的均值、方差与 P(X > 2)

均值是 2.23 人，方差是 2.3571，缺勤超过两人的概率是 0.52。用 E(X²) − μ² 这个公式，比逐个展开六个离差平方省事得多。

区间 (0, 2) 上三角形密度函数的期望与方差

对密度 f(x) = x（0 < x ≤ 1）和 2 - x（1 ≤ x < 2），有 E(X) = 1、D(X) = 1/6。由对称性可直接得到均值，再算出 E(X²) = 7/6 就能得到方差。

八把二手贝斯价格的平均数、中位数和众数怎么算

平均数 679.63 美元、中位数 689.50 美元、众数 699.00 美元。八个价格求和 5437 再除以 8；中位数要先排序再取第 4、5 个数的平均；众数是唯一出现两次的 699。

3, 7, 5, 9, 5, 2 的平均数 31/6、中位数 5、众数 5

平均数是 31/6 ≈ 5.1667，中位数是 5，众数也是 5。求中位数前必须先排序，这是最容易漏掉的一步；数据个数为偶数时取中间两个数的平均值。平均数略高于中位数，是被最大值 9 拉高的。

数据 6, 7, 3, 4, 9, 5 的平均数、中位数和众数怎么求

平均数是 17/3 ≈ 5.67，中位数是 5.5，没有众数。求中位数前必须先排序，数据个数是偶数时取中间两个数的平均；六个数各出现一次，谁也不比谁多，所以这组数据没有众数。

七名学生开销的平均数，以及第八人要花多少才能拉回 2110

七个数的和是 15,255 美元，平均数为 2179.29 美元，高于 2110 美元的估计值。第 (c) 问要抓住「平均数固定则总和固定」：八人总和须为 16,880 美元，减去已知的 15,255 得第八人为 1,625 美元。

一半人考 40 分、少数人考 80 分、其余 58 分：平均数与中位数谁大

正确选项是 D，平均数大于中位数。设班级人数为 N、考 80 分的有 k 人，可算出中位数恒为 49，而平均数为 49 + 22k/N，只要 k ≥ 1 就严格大于 49，这正是右偏分布的特征。

一半人考 78、少数人考 55、其余考 74：平均数和中位数谁大

正确答案是 D，平均数小于中位数。中位数固定为 (74 + 78)/2 = 76，而平均数是 76 − 19k/N，只要有人考 55 就严格小于 76；低分离群值拉低了平均数，却动不了中位数。

一半考 92 分、少数考 54 分、其余 73 分：平均数与中位数谁大

平均数小于中位数。中位数被牢牢钉在 82.5，而平均数是 82.5 − 19k/N，那少数几个 54 分把它往下拽，分布因此左偏。

用求和符号计算三段不同区间的平均水费

全年平均 47.33 美元，1—6 月平均 43.00 美元，4—11 月平均 50.25 美元——变的只是求和的上下限，公式本身没变。

石头剪刀布变体最优混合策略 1/4、1/8、5/8，博弈值 0

最优策略是石头 1/4、布 1/8、剪刀 5/8，博弈值为 0。用「让对手三种回应收益无差异」的条件列方程组求解；剪刀出得最多，是因为它克制对手收益最高的布，而不是因为它自己得分高。

样本只有 1、2、3 时的 95% 置信区间怎么算

区间是 −0.48 到 4.48。n = 3 时 t 临界值高达 4.303，标准误是 1/√3，于是误差幅度足有 2.48，区间宽得惊人。

正态分布第 90 百分位数：90% 的学生多久做完测验

答案约为 73.38 分钟。测验时间服从均值 58、标准差 12 的正态分布，查得第 90 百分位数对应的 z 值是 1.2816，代入 x = μ + zσ 即可。

X 服从均值 55、标准差 10 的正态分布，求 P(X > 58.253)

P(X > 58.253) ≈ 0.3725，约 37.25%。先标准化得 z = 0.3253，再把右尾写成 1 − Φ(z)；查表得 Φ(0.3253) = 0.62752，最后用 z = 0 与 z = 0.5 处的已知值检验答案是否合理。

X ~ N(55, 10) 时用 z 分数求 P(X < 40.851)

概率约为 0.0785。标准化得 z = (40.851 − 55)/10 = −1.4149，标准正态分布在这个 z 分数左侧的面积是 0.078549。

4×4 路网中从西北角走到东南角的最短路线有多少条

共 20 条。每条路线都恰好由 3 次向东和 3 次向南组成，一共 6 步，于是问题化成在 6 个位置里选 3 个放「东」，即 C(6,3) = 20；在网格上按杨辉三角逐点累加也得到同样的 20。

由 ΣX 与 ΣX² 做单样本 t 检验，检验均值是否为 9.00

结果是 t = −2.83。先由两个和求出样本均值 6 与标准差 s = 3，再除以标准误 3/√8 = 1.0607，注意负号要保留。

只给总和与平方和，怎么做单样本 t 检验并算效应量

t = 3.77（自由度 7），在 .05 和 .01 水平下拒绝原假设但在 .001 水平下不拒绝，Cohen's d = 1.33 属大效应。用平方和的计算公式绕开原始数据，标准差 s = 3，标准误 3/√8 = 1.0607。

单因素方差分析：由各组的求和量算出 η²

η² = 43.14/86.57 = 0.498，约 0.50。先用各组的 ΣX 与 ΣX² 求出总平方和与组间平方和，最后得到 F(2, 18) = 8.94，p = 0.002。

自由度为 1、卡方值为 137.38 时 p 值是多少

p ≈ 9.96×10⁻³²，远小于 0.001。自由度为 1 时卡方就是标准正态的平方，所以右尾概率可写成 2(1 − Φ(√137.38))；√137.38 ≈ 11.72 个标准误，结论是坚决拒绝原假设。

配对样本 t 检验实例：训练前后的 BMI 变化

15 名参与者的 BMI 平均下降 0.86；配对样本 t 检验得 t = 2.363，自由度 14，p = 0.033，故在 5% 水平上下降显著。附完整计算过程。

均值为 12 的 17 个数据的总体标准差 ≈ 2.35

σ ≈ 2.35，由偏差平方和 94 除以 17 个数据得到。因为均值正好是 12，每个偏差都是整数，整道题算下来不会有任何四舍五入误差。

先发的 5 张牌为什么不影响后面抽 3 张的概率

概率是 15796/34220 ≈ 46.16%。由可交换性，在没看过的起手牌之后再抽的 3 张，等价于直接从整副 60 张牌里抽 3 张。

p = 0.2 的五个独立事件：全部发生的概率与发生个数的期望

答案：五个全部发生的概率是 0.2⁵ = 0.00032，约 0.032%；发生个数的期望由二项分布均值公式给出，np = 5 × 0.2 = 1。

命中率 0.2、0.3、0.5：至少一门命中 0.72，恰好一门命中 0.47

至少有一门命中用对立事件算：1 − (0.8)(0.7)(0.5) = 0.72；恰好一门命中把三个互斥情形的乘积相加得 0.47。

摸出的两球都是红球的概率（3 红 5 白）

概率是 3/28，约 10.7%。用 C(3,2) = 3 种有利取法比上 C(8,2) = 28 种总取法，或按先后两次相乘 3/8 × 2/7 也一样。

用对立事件求「至少一个蓝球」的概率：791/792

答案：791/792 = 0.99874。从 5 红 7 蓝中不放回取 5 个球，在 C(12,5) = 792 种等可能取法里减掉唯一一种全红的取法即可。

12 个球里取 6 个，至少有一个蓝球的概率是 923/924

答案是 923/924，约 99.89%。924 种取法中只有一种完全避开蓝球，所以用对立事件一行就能算出结果。

从两组标记牌中各至少抽到一张的概率怎么算

60 张牌中 5 张标 A、23 张标 B，抽 5 张时两种标记各至少一张的概率是 1748230/5461512 = 32.01%。用容斥原理配合补事件求解。

60 张牌抽 3 张，至少抽到 1 张标记牌（共 9 张）的概率

答案是 13395/34220，约 39.14%。用对立事件把三种情形合并成一次计算：1 − C(51,3)/C(60,3)，其中 C(51,3) 数的是三张全是无标记牌的抽法。

掷 8 次骰子至少出现一次 6 的概率：1 − (5/6)⁸ ≈ 0.7674

概率是 1 − (5/6)⁸ ≈ 0.7674。「至少出现一次」的对立事件是「一次都没出现」，8 次投掷都避开 6 的概率是 (5/6)⁸，用 1 减去它就是答案。

6红6蓝取6个球，至少2个红球的概率怎么求

概率是 887/924 ≈ 0.96。直接算「至少 2 个」要分五种情况，改用对立事件：0 个红球和 1 个红球加起来只占 924 种取法里的 37 种，一步就减出来。

掷四次骰子最多出现三次 1 的概率怎么算

概率是 1295/1296，约 0.99923。「至多三次」的对立事件是「四次全是 1」，只有一个样本点，概率为 (1/6)⁴ = 1/1296。

52 张扑克牌中抽到 K 的概率是 1/13，约 7.69%

概率是 4/52 = 1/13，约 0.0769，即 7.69%。先数出四张 K 与 52 张等可能的牌，再用 4:48 的几率比反过来核对一遍。

从 1、2、3 三张卡有放回抽 5 次，恰好抽到一次 3 的概率是 80/243

这是 n = 5、p = 1/3 的二项分布：C(5,1)(1/3)(2/3)⁴ = 5 × 16/243 = 80/243 ≈ 0.329。文中说明为什么必须乘组合数 C(5,1)，并用整个分布求和验证。

15 件中 3 件次品，任取 5 件：恰好 2 件次品的概率是 20/91

用超几何公式 C(3,k)C(12,5−k)/C(15,5)。恰好 2 件次品为 660/3003 = 20/91；因为总共只有 3 件次品，至少 2 件只需再加上 3 件次品的 66 种，得 22/91。

44 个格子里有 30 个空格，随机取一个是空格的概率

概率是 30/44 = 15/22 ≈ 0.6818，约 68.18%。用有利结果数除以总结果数，再约掉公因数 2 化成最简分数。

掷一枚均匀骰子掷出 6 的概率：1/6

概率是 1/6 ≈ 0.1667，约 16.67%。均匀骰子有六个等可能结果，其中恰好一个是 6，所以就是六种情形里占一种。

五次抽取（数字 1、2、3）中第二大的数为 3：131/243

b = 3 意味着五次抽取里至少有两次是 3，用 1 减去「没有 3」和「恰好一个 3」两项二项概率：1 − 32/243 − 80/243 = 131/243。

1~10 号球取 3 个：最小号为 5 的概率 1/12，最大号为 5 的概率 1/20

最小号是 5 的概率为 1/12，最大号是 5 的概率为 1/20。先固定 5 被取中，另两个从比它大的五个数里选 C(5,2)=10，或从比它小的四个数里选 C(4,2)=6，除以 C(10,3)=120。

三点求二次回归方程，以及 R² = 1 的真正原因

(10, 2.9)、(20, 4.0)、(30, 4.9) 的二次回归方程是 y = −0.001x² + 0.14x + 1.6，R² = 1。三点必定落在同一条抛物线上，残差全为零，手算解三元一次方程组即可。

Tukey 法求四分位数，与常规算法差在哪（25 个数据）

Tukey 铰值给出 Q1 = 27、Q3 = 39；把中位数排除在外则得到 26.5 和 40.5。用 25 个年龄数据完整演示两种约定为什么会不一样，以及对 IQR 和异常值围栏的影响。

5.53 到 6.19 这六个数的样本标准差约为 0.249

样本标准差约为 0.249，由均值 5.7417 和平方偏差之和 0.3099 算得。文中还说明了为什么单独一个偏大的 6.19 就撑起了大部分离散度。

第 7 个报价要多少才能让七个价格的平均值正好是 18,500 美元

第七个报价必须是 19,400 美元。把目标均值乘 7 得到所需总额 129,500 美元，再减去已有的 110,100 美元即可。

解 100a + 10b + c = 5.9 等三元方程组：消去 c 得 a = −0.0025

解是 a = −0.0025，b = 0.325，c = 2.9。相邻两式相减即可消掉 c，剩下 30a + b = 0.25 与 50a + b = 0.2，再一减便得 20a = −0.05。

把 z 分数公式 z = (x − m)/d 变形求均值：m = x − zd

变形后的公式是 m = x − zd。先两边同乘标准差 d 去掉分母，再把 m 单独留下。z 为正说明这个数据高于均值，减去 zd 正好落回均值；z 为负则减去负数往上走，符号自动对。

2.9、2.5、2.9 的标准差：样本 s ≈ 0.2309，总体 σ ≈ 0.1886

样本标准差 s ≈ 0.2309，总体标准差 σ ≈ 0.1886。均值 2.7667 是循环小数，平方之前必须多留几位，否则四舍五入的误差会直接写进答案。

4, 8, 6, 5, 3 的标准差怎么算：总体 1.72、样本 1.92

4, 8, 6, 5, 3 的总体标准差是 1.72，样本标准差是 1.92。均值 5.2，离差平方和 14.8，关键是分母该用 n 还是 n − 1。

九个 4.2x 测量值的标准差：总体 σ ≈ 0.0125、样本 s ≈ 0.0132

总体标准差 σ ≈ 0.0125，样本标准差 s ≈ 0.0132。均值恰好是 4.25，离差平方和只有 0.0014；原始数据里的逗号是小数点，不是分隔符。

0.645、0.656、0.652 的标准差：样本 s≈0.005568，总体 σ≈0.004546

样本标准差 s ≈ 0.005568，总体标准差 σ ≈ 0.004546。均值恰好是 0.651，三个偏差为 −0.006、+0.005、+0.001，关键在于除以 n−1 还是 n。

15 名受试者前后测的样本标准差：11.81 与 12.30

两组的样本标准差分别是 11.81 和 12.30 个百分点，均值是 24.96 和 23.71。题目印的前测均值 24.99 是错的，这 15 个数实际平均下来是 24.96。

已知 Σx = 10、Σx² = 60、n = 5，求均值的标准误：答案是 √2 ≈ 1.414

均值的标准误是 1.414，所给选项没有一个对。先算 SS = 60 − 100/5 = 40 得 s = 3.162，再除以 √5 恰好剩下 √2。

已知 ΣX = 8、ΣX² = 46、n = 4，求均值标准误 1.581

均值的标准误是 1.581。先用计算公式求 SS = 46 − 8²/4 = 30，除以 n − 1 = 3 得 s = 3.162，再除以 √4 = 2 就得到 1.581。

25 个年龄的 Tukey 四分位数：Q1 = 27、Q3 = 36（铰值保留中位数）

Tukey 铰值法把中位数同时留在上下两半，于是每半各有 13 个数，四分位数就是各自的第 7 个值：27 和 36——而不是排除法给出的 26 和 39。

z 统计量为 2.1 时的双尾 p 值约为 0.0357

p 值约为 0.0357。z = 2.1 右侧的尾部面积是 0.0179，双尾检验要把 −2.1 左侧那个对称的尾部也算进去，所以要乘以 2。

95% 置信区间 14 到 17 到底什么意思：95% 的同法区间会包含总体均值

它的意思是：按同样方法构造的区间中有 95% 会盖住真实的总体均值。14 到 17 这个区间要么含 μ 要么不含；置信水平描述的是方法，不是这一个区间。

均值 31.68、标准差 9.694 时最小值 11 与最大值 47 的 z 分数

用 z = (x − 均值)/标准差，最年轻的顾客得 −2.133，最年长的得 1.580。两个 z 分数的不对称本身就说明这组样本左偏。