一个 N = 8 的样本满足 ΣX = 48、ΣX² = 351。若假设的总体均值为 2.00，求效应量指标 d。

Step-by-step solution

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   先弄清题目问的是哪个公式。 单样本设计下的 Cohen's $d$，用均值差除以样本标准差：

   $d = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s}$

   而 $t$ 统计量除的是标准误 $s/\sqrt{N}$。把这两者搞混是这里最常犯的错误，$N=8$ 时会把答案整整放大 $\sqrt{8} \approx 2.83$ 倍。

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   先求样本均值。

   $\bar{X} = \frac{\sum X}{N} = \frac{48}{8} = 6.00$

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   用计算公式求离差平方和。

   $SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{48^2}{8} = 351 - \frac{2304}{8} = 351 - 288 = 63$

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   求样本标准差。 样本要除以 $N-1 = 7$：

   $s^2 = \frac{SS}{N-1} = \frac{63}{7} = 9, \qquad s = \sqrt{9} = 3$

   数字被安排得如此干净，本身就是 $SS$ 那一步没算错的好迹象。

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   用均值差除以 $s$。

   $d = \frac{6.00 - 2.00}{3} = \frac{4}{3} = 1.3333 \approx 1.33$

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   解释结果并交叉验证。 按 Cohen 的惯例，$d = 0.2$ 为小效应，$0.5$ 为中等，$0.8$ 为大效应，所以 $1.33$ 属于大效应。再看干扰项 $3.77$：它其实是 $t = \dfrac{4}{3/\sqrt{8}} = \dfrac{4}{1.06066} = 3.7712$，是 $t$ 统计量而不是效应量。而 $1.4254$ 则来自除以总体式的 $\sqrt{63/8} = 2.80624$，也就是错用了 $N$ 而不是 $N-1$。