对于分数为 1、2、3 的样本，求关于样本均值的 95% 置信区间。

Step-by-step solution

1. 1

   先把几个和算出来。 $n = 3$，$\sum X = 6$，$\sum X^2 = 1 + 4 + 9 = 14$。由这些可得：

   $\bar{X} = \frac{6}{3} = 2, \qquad SS = 14 - \frac{6^2}{3} = 14 - 12 = 2$

2. 2

   求 $s$ 和标准误。 把 $SS$ 除以 $n-1 = 2$：

   $s^2 = \frac{2}{2} = 1, \quad s = 1, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.57735$

   除以 $\sqrt{n}$ 这一步必不可少——漏掉它，恰好就会得出下面那个最宽的干扰项。

3. 3

   要用 $t$ 而不是 $z$，而且自由度得取对。 $n = 3$ 时自由度是 $df = 2$，双侧 $95\%$ 的临界值为

   $t_{0.025,\,2} = 4.3027$

   它比 $z = 1.96$ 大出一大截；只有两个自由度时，$t$ 分布的尾部非常厚。

4. 4

   把区间搭出来。

   $\bar{X} \pm t\,s_{\bar{X}} = 2 \pm 4.3027 \times 0.57735 = 2 \pm 2.4841$

   $LL = -0.4841, \qquad UL = 4.4841$

   所以区间大约是 $-0.48$ 到 $4.48$。

5. 5

   和给出的选项逐一对照。 $-2.30$ 到 $6.30$、$-0.43$ 到 $3.43$、$1.20$ 到 $2.80$ 这几个都对不上。特别是 $-2.30$ 到 $6.30$，它其实是 $2 \pm 4.3027 \times 1$——把同一个 $t$ 值乘到了 $s$ 而不是 $s_{\bar{X}}$ 上，也就是漏掉了那个 $\sqrt{3}$。既然没有一个与 $(-0.48,\ 4.48)$ 相符，正确的回答就是**「以上选项均不正确」**。

6. 6

   解读一下这个宽度。 均值只有 $2$，区间却从零以下一直伸到将近 $4.5$，这就是 $n = 3$ 必须付出的老实代价：三个观测值根本没法把均值定得多准。验算：$4.3027 \times 0.57735 = 2.4841$，而 $2 - 2.4841 = -0.4841$，$2 + 2.4841 = 4.4841$ ✓。