在一种石头剪刀布的变体中，用布赢得 5 分，用石头赢得 1 分，用剪刀赢得 2 分，输的一方得相应的负分。玩家应采用什么混合策略？这个博弈的值是多少？

Step-by-step solution

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   先写出支付矩阵。 设行方以概率 $p$、$q$、$r$ 分别出石头、布、剪刀，其中 $p+q+r=1$ 且都非负。布克石头（$+5$），石头克剪刀（$+1$），剪刀克布（$+2$），输的一方取负值。这个博弈是零和且对称的——双方面对同一个矩阵——单凭这一点就能断定它的值必为 $0$。

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   算出行方面对每种纯策略回应时的期望收益。

   $E_{\text{石头}}=0\cdot p+5q-1\cdot r=5q-r,$
   $E_{\text{布}}=-5p+0\cdot q+2r=-5p+2r,$
   $E_{\text{剪刀}}=1\cdot p-2q+0\cdot r=p-2q.$

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   加上无差异条件。 在混合均衡下，对手对三种回应必须无差异，否则他就会改出最优的那一种来占我们便宜。于是

   $5q-r=-5p+2r=p-2q=v,$

   再配上 $p+q+r=1$。这条“让对手无差异”的原理就是整套方法的全部。

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   解这个线性方程组。 由 $5q-r=p-2q$ 得 $p=7q-r$。代入 $p+q+r=1$：

   $(7q-r)+q+r=8q=1\;\Longrightarrow\;q=\tfrac18.$

   由 $5q-r=-5p+2r$ 得 $5p+5q=3r$；把 $p=\tfrac78-r$ 代入化为 $\tfrac{35}{8}-5r+\tfrac58=3r$，于是 $8r=5$，$r=\tfrac58$，从而 $p=\tfrac78-\tfrac58=\tfrac14.$

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   读出博弈值并验证。 代入三个表达式中的任意一个，得 $v=p-2q=\tfrac14-\tfrac14=0$。三个都核一遍：$5q-r=\tfrac58-\tfrac58=0$ ✓，$-5p+2r=-\tfrac54+\tfrac54=0$ ✓，$p-2q=0$ ✓，且 $p+q+r=\tfrac28+\tfrac18+\tfrac58=1$ ✓。值为 $0$，印证了第一步的对称性论证。

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   解读这组权重。 剪刀出得最多（$\tfrac58$），尽管用它赢只得 $2$ 分——因为剪刀正好克制布，而布是对手收益最高的武器，必须把它压住。得分最高的布反而出得最少（$\tfrac18$）。在这类无差异均衡里，一步棋的概率反映的是“对手的最优选择需要被压制到什么程度”，而不是这步棋自身能得多少分。