某表格给出每日缺勤 0、1、2、3、4、5 人的概率依次为 0.20、0.18、0.10、0.25、0.25 和 0.02。求每日缺勤人数的均值与方差，以及某天缺勤超过两人的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   先检验这张表本身。 概率分布的各个概率之和必须为 $1$：

   $0.20 + 0.18 + 0.10 + 0.25 + 0.25 + 0.02 = 1.00 \;\checkmark$

   如果这一步不通过，后面算出的每个数都没有意义，所以这十秒钟很值。

2. 2

   按 $\sum x P(x)$ 算均值。

   $\mu = 0(0.20) + 1(0.18) + 2(0.10) + 3(0.25) + 4(0.25) + 5(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.20 + 0.75 + 1.00 + 0.10 = 2.23$

   也就是说，平均每天有 $2.23$ 名员工缺勤。

3. 3

   先算 $E(X^2)$，再用求方差的简便公式。 先把每个 $x$ 平方，再加权：

   $E(X^2) = 0(0.20) + 1(0.18) + 4(0.10) + 9(0.25) + 16(0.25) + 25(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.40 + 2.25 + 4.00 + 0.50 = 7.33$

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   减去均值的平方。 计算公式 $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ 省掉了六个离差平方：

   $\sigma^2 = 7.33 - (2.23)^2 = 7.33 - 4.9729 = 2.3571$

   $\sigma = \sqrt{2.3571} = 1.5353$

   注意顺序：是把均值平方后减去，而不是把「平方的均值」当成方差。

5. 5

   (b) 把大于 2 的那几项概率加起来。 「超过两人」指的是 $x = 3, 4, 5$——它不包括 $x = 2$：

   $P(X > 2) = 0.25 + 0.25 + 0.02 = 0.52$

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   再用笨办法核对一遍方差。 逐项算 $(x-\mu)^2 P(x)$：$(0-2.23)^2(0.20) = 0.99458$，$(1-2.23)^2(0.18) = 0.272322$，$(2-2.23)^2(0.10) = 0.00529$，$(3-2.23)^2(0.25) = 0.148225$，$(4-2.23)^2(0.25) = 0.783225$，$(5-2.23)^2(0.02) = 0.153458$。合计 $= 2.3571$ ✓，与简便公式完全一致。另外 $P(X \le 2) = 0.20+0.18+0.10 = 0.48$，而 $0.48 + 0.52 = 1$ ✓。