1 月至 12 月的月度水费依次为 40、42、40、38、48、50、58、62、56、46、44、44 美元。用求和符号求全年、前六个月以及 4 月到 11 月的平均水费。

Step-by-step solution

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   先写出通用模板。 一段连续项的平均数是

   $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=a}^{b} x_i, \qquad n = b - a + 1$

   三问用的都是同一个式子，变的只是上下限 $a$、$b$，以及由它们决定的 $n$。项数每次都必须从上下限重新算，绝不能沿用上一问的。

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   (a) 全年：$i$ 从 1 到 12。

   $\bar{x} = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50+58+62+56+46+44+44}{12} = \frac{568}{12}$

   $= 47.3333\ldots = \$47.33$

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   (b) 前六个月：$i$ 从 1 到 6。

   $\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50}{6} = \frac{258}{6} = 43 = \$43.00$

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   (c) 4 月到 11 月：$i$ 从 4 到 11。 4 月是 $x_4$，11 月是 $x_{11}$，所以 $n = 11 - 4 + 1 = 8$——是八个月，不是七个月。在这个计数上差一，正是经典错误：

   $\bar{x} = \frac{1}{8}\sum_{i=4}^{11} x_i = \frac{38+48+50+58+62+56+46+44}{8} = \frac{402}{8} = 50.25 = \$50.25$

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   把三个合计数互相核对。 前六个月合计 $258$，第 $4$–$11$ 月合计 $402$，全年是 $568$。一致性检验：第 $1$–$3$ 月合计 $40+42+40 = 122$，第 $12$ 月是 $44$，于是 $122 + 402 + 44 = 568$ ✓——这三块恰好把一年不重不漏地分完。

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   解读一下这个规律。 夏季那一段（4 月—11 月）平均 \50.25$，明显高于全年的$$47.33$，也高于以冬季为主的上半年$$43.00$，这与水费在七八月见顶的情形正好相符。