三组各 7 名被试，各组 ΣX 分别为 36、17、13，ΣX² 分别为 200、59、35（总计 ΣX = 66，ΣX² = 294，N = 21）。请做单因素方差分析并报告效应量 η²。

Step-by-step solution

1. 1

   校正项只算一次，之后反复取用。 单因素方差分析里的每一个平方和，都建立在同一个总和项上：

   $\frac{\left(\sum X_{\text{总}}\right)^{2}}{N}=\frac{66^{2}}{21}=\frac{4356}{21}=207.4286$

   只算一次并多保留几位小数，可以避免舍入漂移——学生作业里 $SS_{\text{组内}}$ 算成负数，往往就是这么来的。

2. 2

   总变异。

   $SS_{\text{总}}=\sum X^{2}_{\text{总}}-\frac{\left(\sum X_{\text{总}}\right)^{2}}{N}=294-207.4286=86.5714$

3. 3

   由分组解释掉的变异。 把每个分数换成它所在组的均值；用汇总量来说，就是每组总和平方后除以该组的 $n$：

   $SS_{\text{组间}}=\sum\frac{\left(\sum X_j\right)^{2}}{n_j}-\frac{\left(\sum X_{\text{总}}\right)^{2}}{N}=\frac{36^{2}+17^{2}+13^{2}}{7}-207.4286$

   $=\frac{1296+289+169}{7}-207.4286=250.5714-207.4286=43.1429$

4. 4

   效应量：分组解释掉的方差占多大比例。

   $\eta^{2}=\frac{SS_{\text{组间}}}{SS_{\text{总}}}=\frac{43.1429}{86.5714}=0.4983\approx0.50$

   写成精确分数是 $\frac{302/7}{606/7}=\frac{151}{303}$。对照常用的经验标准（$0.01$ 为小，$0.06$ 为中，$0.14$ 为大），$\eta^{2}$ 约为 $0.50$ 属于非常大的效应：分数变异中有一半与被试属于哪一组有关。

5. 5

   把方差分析表补完，确认结果显著。 剩下的变异是

   $SS_{\text{组内}}=86.5714-43.1429=43.4286,\qquad df_{\text{组间}}=2,\quad df_{\text{组内}}=18$

   $MS_{\text{组间}}=\frac{43.1429}{2}=21.571,\qquad MS_{\text{组内}}=\frac{43.4286}{18}=2.413$

   $F=\frac{21.571}{2.413}=8.94$

6. 6

   把 $F$ 与临界值比较。 当 $df=(2,18)$ 时，$F_{.05}=3.55$，$F_{.01}=6.01$。由于 $8.94$ 两者都超过（精确 $p=0.002$），在 $.01$ 水平上拒绝「三组来自同一总体」这一原假设——这与非常大的 $\eta^{2}$ 相吻合。三组的均值分别是 $5.14$、$2.43$ 和 $1.86$，指出了差异究竟落在哪里。