美国有 66% 的成年人对报纸非常缺乏信心。随机抽取 10 名成年人，求其中非常缺乏信心的人数 (a) 恰好为 5 人、(b) 至少 6 人、(c) 少于 4 人的概率。

Step-by-step solution

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   先确认二项模型用得上。 一共有 $n=10$ 次相互独立的抽取，每次的结果只有「非常缺乏信心」和「不是」两种，且概率恒为 $p=0.66$。所以 $X\sim B(10,0.66)$，且

   $P(X=k)=\binom{10}{k}(0.66)^{k}(0.34)^{10-k}.$

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   第 (a) 问：恰好五人。

   $P(5)=\binom{10}{5}(0.66)^{5}(0.34)^{5}=252(0.12523)(0.00454)=0.143.$

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   第 (b) 问：至少六人。 把 $k=6$ 到 $k=10$ 的各项加起来：

   $P(X\ge 6)=0.23195+0.25729+0.18729+0.08079+0.01568=0.773.$

   这一侧的概率更大，因为均值 $np=6.6$ 正好落在里面。

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   第 (c) 问：先判断要不要用对立事件。 「少于四人」就是 $k=0,1,2,3$ —— 四项。而对立事件 $P(X\ge 4)$ 要算七项，所以这里直接求和反而更省事。只有当你要求的事件比它的对立事件情形更多时，用对立事件才算捷径。

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   把这四项算出来。

   $P(0)=(0.34)^{10}=0.0000206,\qquad P(1)=10(0.66)(0.34)^{9}=0.0004007,$
   $P(2)=45(0.66)^{2}(0.34)^{8}=0.0035005,\qquad P(3)=120(0.66)^{3}(0.34)^{7}=0.0181203.$

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   求和并取近似。

   $P(X<4)=0.0000206+0.0004007+0.0035005+0.0181203=0.02204\approx 0.022.$

   这个值很小，也在意料之中：均值是 $6.6$ 人，出现三人及以下已经落在下侧尾部很远的地方了。