有 8 颗完全相同的糖和 4 块完全相同的饼干要分给 3 个小孩（两男一女）。若 (a) 每个小孩两种物品都至少分到一件，(b) 每个小孩恰好分到四件，(c) 女孩分到的糖比任何一个男孩都多且两个男孩分到的饼干一样多，各有多少种分法？

Step-by-step solution

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   先把工具准备好。 把 $n$ 件相同的物品分给 $k$ 个不同的小孩、每人至少分到 $1$ 件，分法数是 $\binom{n-1}{k-1}$；若允许有人分到 $0$ 件，则是 $\binom{n+k-1}{k-1}$。糖和饼干各分各的、互不影响，所以每一问里两个计数结果都要相乘。

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   第 (a) 问：每人两种都至少分到一件。 糖：$\binom{8-1}{2}=\binom72=21$；饼干：$\binom{4-1}{2}=\binom32=3$。相乘得

   $21\times 3=63.$

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   第 (b) 问：每人恰好分到四件。 这时两种分配不再独立——饼干数一定，糖数就跟着定了。若第 $i$ 个小孩分到 $k_i$ 块饼干，他就必然分到 $4-k_i$ 颗糖；而 $\sum k_i=4$ 自动保证糖数合计 $\sum(4-k_i)=12-4=8$。所以只需数允许取零的饼干分法：

   $\binom{4+2}{2}=\binom62=15.$

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   第 (c) 问的饼干部分：两个男孩要一样多。 若每个男孩分到 $k$ 块，女孩就分到 $4-2k$ 块，这要求 $k\in\{0,1,2\}$——共三种可能。

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   第 (c) 问的糖果部分：女孩要比两个男孩都多。 按女孩分到的数量 $g$ 枚举，两个男孩合计 $8-g$ 且各自都小于 $g$：

   $g=4:3,\quad g=5:4,\quad g=6:3,\quad g=7:2,\quad g=8:1,$

   而 $g\le 3$ 是不可能的，因为那样两个男孩要合分 $\ge 5$ 颗糖，却又各自都得小于 $3$。合计 $3+4+3+2+1=13$ 种糖的分法。

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   把第 (c) 问合起来，再汇总。

   $13\times 3=39.$

   所以三问的答案依次是 $\mathbf{63}$、$\mathbf{15}$ 和 $\mathbf{39}$。用计算机对所有分法做一遍直接枚举，得到的计数与上面完全一致。