一副 60 张的牌中有 9 张做了标记。从中不放回地随机抽 3 张，求其中至少有 1 张是标记牌的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   用对立事件，而不是分情况讨论。 「至少一张有标记」包含一张、两张、三张有标记这三种情形。它的对立事件只有一个：「一张标记牌都没抽到」，于是

   $P(\text{至少一张})=1-P(\text{一张都没有})$

   对于至少有一个这类问题，这条路总是更省事。

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   先数出抽三张牌的总方法数。 不计顺序，所以

   $\binom{60}{3}=\frac{60\times59\times58}{3\times2\times1}=34220$

3. 3

   再数出一张标记牌都不含的抽法。 三张必须全部取自那 $51$ 张无标记的牌：

   $\binom{51}{3}=\frac{51\times50\times49}{3\times2\times1}=20825$

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   算出对立事件的概率。

   $P(\text{一张都没有})=\frac{20825}{34220}=0.60856\ldots$

   于是

   $P(\text{至少一张})=1-\frac{20825}{34220}=\frac{34220-20825}{34220}=\frac{13395}{34220}$

   约分后是 $\tfrac{2679}{6844}$。

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   换算成百分数。

   $\frac{13395}{34220}=0.391438\ldots\approx39.14\%$

6. 6

   用一个粗略估计验算。 单抽一张抽中标记牌的概率是 $\tfrac{9}{60}=15\%$。若把三次抽取近似看作互相独立，三次全都落空的概率大约是 $0.85^3=0.614$，对应约 $38.6\%$——与精确值 $39.14\%$ 很接近，差的那一点正是不放回带来的 ✓。

7. 7

   说明为什么起手的那几张牌不影响结果。 即使先有五张牌已经背面朝下发出去且不去看它们，之后抽的这三张仍然是原来 $60$ 张里一个均匀随机的三元子集，所以上面的计算原封不动地成立。