25 位顾客的年龄均值为 31.68、标准差为 9.694，最小年龄是 11，最大年龄是 47。分别求它们的标准分数。

Step-by-step solution

1. 1

   写出标准化公式。 $z$ 分数把一个数值表示成「偏离均值多少个标准差」：

   $z=\frac{x-\bar x}{s}$

   必须先做减法；先除后减是最常见的失误。

2. 2

   把最小值标准化。

   $z_{\min}=\frac{11-31.68}{9.694}=\frac{-20.68}{9.694}=-2.133$

   负号说明最年轻的顾客位于均值下方——比均值低了两个多标准差。

3. 3

   把最大值标准化。

   $z_{\max}=\frac{47-31.68}{9.694}=\frac{15.32}{9.694}=1.580$

4. 4

   写出两个结果。

   $\boxed{z_{\min}=-2.133,\qquad z_{\max}=1.580}$

5. 5

   把这一对结果解读一下。 两个绝对值都小于 $3$，按常用的经验法则，两个极端值都算不上异常的离群值。但它们明显不对称：最小值比均值低 $2.13$ 个标准差，最大值却只比均值高 $1.58$ 个标准差，说明低值那一侧的尾巴拖得更长——这是年龄分布左偏的证据。

6. 6

   倒推核对运算。 $\bar x+z_{\min}s=31.68-2.133(9.694)=31.68-20.68=11.00$ ✓，$31.68+1.580(9.694)=31.68+15.32=47.00$ ✓，都还原回了原始年龄。