两个相互独立的事件各自发生的概率都是 73%。它们合起来的概率是多少？

Step-by-step solution

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   先点明题目本身有歧义。 「合起来」既可以指两个事件都发生，也可以指至少一个发生。这是两个不同的数，而且这里相差将近 $40$ 个百分点——所以必须先把理解定下来，再动手算。有一点是肯定的：它绝不表示两个概率相加，$73\%+73\%=146\%$ 根本不可能，概率不会超过 $1$。

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   理解一——两个事件都发生。 对相互独立的事件，概率相乘：

   $P(A\text{ 且 }B)=P(A)\times P(B)=0.73\times0.73=0.5329=53.29\%$

   要求两件事同时成立，总比只要其中一件更难，所以答案必然小于 $73\%$ ✓。

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   理解二——至少一个发生。 用对立事件：「至少一个」只有在两个都不发生时才落空，而每个不发生的概率是 $1-0.73=0.27$：

   $P(\text{两个都不发生})=0.27\times0.27=0.0729$

   $P(\text{至少一个发生})=1-0.0729=0.9271=92.71\%$

   两次机会里只要中一次，比只有一次机会更容易，所以这个数必然大于 $73\%$ ✓。

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   让两个答案互相校验。 四个互斥结果的概率之和必须是 $1$：两个都发生 $=0.5329$，只有第一个发生 $=0.73\times0.27=0.1971$，只有第二个发生 $=0.1971$，两个都不发生 $=0.0729$。相加：$0.5329+0.1971+0.1971+0.0729=1.0000$ ✓。顺带还能看出恰好发生一个的概率是 $0.3942=39.42\%$。

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   说清独立性用在了哪里。 上面两个公式都假定两个事件互不影响。如果它们完全同步，「都发生」是 $73\%$，「至少一个」也还是 $73\%$；如果互斥，「都发生」就是 $0$。独立性是需要明确交代的假设，不是默认成立的前提。

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   把两个答案归拢一下。 两个都发生：$\mathbf{53.29\%}$；至少一个发生：$\mathbf{92.71\%}$。上面每个数都重算过，四种结果之和也验证为恰好 $1$ ✓。