某邮件系统中 20% 的邮件是垃圾邮件。70% 的垃圾邮件含有单词「lottery」，而正常邮件中只有 12.5% 含有它。现收到一封含「lottery」的邮件，它是垃圾邮件的概率是多少？

Step-by-step solution

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   给事件命名，并把已知数据归位。 记 $G$ = 「这封邮件是垃圾邮件」，$N$ = 「这封邮件是正常邮件」，$L$ = 「邮件含有单词 lottery」。已知条件是

   $P(G)=0.2,\qquad P(N)=0.8$
   $P(L\mid G)=0.7,\qquad P(L\mid N)=0.125$

   注意条件的方向：题目给的是「已知类别，求出现该词」的概率，问的却是「已知出现该词，求类别」。把条件概率的方向反过来，正是贝叶斯定理的用武之地。

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   照所求的量写出贝叶斯定理。

   $P(G\mid L)=\frac{P(L\mid G)\,P(G)}{P(L)}$

   分子是「既是垃圾邮件又含有该词」的概率；分母则是在全部邮件里「含有该词」的概率。

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   用全概率公式求分母。 每封邮件非垃圾即正常，这两种情形把样本空间分成互不重叠的两块：

   $P(L)=P(L\mid G)P(G)+P(L\mid N)P(N)=0.7\times 0.2+0.125\times 0.8$
   $P(L)=0.14+0.10=0.24$

   也就是说，大约每四封邮件就有一封含该词——而这里的大部分「质量」来自数量多得多的正常邮件。

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   代入并化简成精确分数。

   $P(G\mid L)=\frac{0.14}{0.24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.5833$

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   解读结果并做合理性检验。 看到这个词，使邮件是垃圾邮件的概率从先验的 $20\%$ 提高到约 $58.3\%$——证据不弱，但离确定还差得远，因为正常邮件本来就是垃圾邮件的四倍。一个好用的旁证：假设有 $1000$ 封邮件，其中 $200$ 封是垃圾邮件、$140$ 封含该词；另外 $800$ 封是正常邮件、$100$ 封含该词。在被挑出的 $240$ 封含词邮件里有 $140$ 封是垃圾邮件：$140/240=7/12$，与公式结果一致。