某检验得到统计量 卡方(1) = 137.38，求对应的 p 值。

Step-by-step solution

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   先弄清这里的 p 值指的是什么。 $p$ 值就是右尾概率 $P\!\left(\chi^2_1 \ge 137.38\right)$：在原假设为真的前提下，观察到至少这么极端的统计量的概率。卡方检验永远是右侧单尾的，因为偏离原假设的两个方向都会把统计量抬高。

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   利用自由度为 1 的卡方与标准正态之间的关系。 若 $Z\sim N(0,1)$，则 $Z^2 \sim \chi^2_1$。于是 $P\!\left(\chi^2_1 \ge c\right) = P\!\left(|Z| \ge \sqrt{c}\right) = 2\left(1-\Phi\!\left(\sqrt{c}\right)\right).$ 这就把一个不好查的卡方尾部，换成了熟悉的正态尾部。

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   把统计量换算成 z 值。 $\sqrt{137.38} = 11.720921\ldots$ 也就是说，观察到的效应离原假设的取值差了将近 $11.7$ 个标准误。

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   算这个双尾的正态尾部概率。 写成封闭形式 $2\left(1-\Phi(z)\right)=\operatorname{erfc}\!\left(z/\sqrt{2}\right)$，于是 $p = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{137.38/2}\right) = \operatorname{erfc}(8.287943) \approx 9.96\times 10^{-32}.$

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   用尾部的渐近估计再确认一次。 当 $z$ 很大时，$1-\Phi(z)\approx \dfrac{e^{-z^2/2}}{z\sqrt{2\pi}}$，据此 $p \approx \dfrac{2e^{-68.69}}{11.7209\sqrt{2\pi}} \approx 1.00\times10^{-31}$——数量级完全一致，所以前面算出的值是可信的。

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   解释这个结果。 由于 $p \approx 10^{-31}$ 比 $0.05$、$0.001$ 之类的常用阈值小得离谱，原假设被坚决拒绝。软件常把它打印成 p < 0.001 甚至 p = 0；报告时应当写成 $p<0.001$，而不要照字面写成零。