在一个数学班里，一半的学生在成绩测验中得了 78 分。除了少数几个得 55 分的学生外，其余学生得 74 分。关于这组分数的分布，下面哪种说法是正确的？

Step-by-step solution

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   先用符号把各类人数写出来。 设班级人数 $N$ 为偶数：$\tfrac{N}{2}$ 名学生得 $78$ 分，$k \ge 1$ 名得 $55$ 分，$\tfrac{N}{2} - k$ 名得 $74$ 分。结论必须对每一个允许的 $k$ 都成立，所以把它保留成符号最稳妥。

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   确定中位数。 从低到高排序，先是 $k$ 个 $55$，接着是 $\tfrac{N}{2} - k$ 个 $74$，最后是 $\tfrac{N}{2}$ 个 $78$。正中间的第 $\tfrac{N}{2}$ 与第 $\tfrac{N}{2}+1$ 两个位置上分别是 $74$ 与 $78$：

   $\text{中位数} = \frac{74 + 78}{2} = 76$

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   计算平均数。

   $\text{平均数} = \frac{78\cdot\tfrac{N}{2} + 55k + 74\left(\tfrac{N}{2}-k\right)}{N} = \frac{76N - 19k}{N} = 76 - \frac{19k}{N}$

   每有一名学生把 $74$ 换成了 $55$，总分就少 $19$ 分，这正是分子里那个 $-19k$ 的来历。

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   做比较。 因为 $k \ge 1$，

   $\text{平均数} = 76 - \frac{19k}{N} < 76 = \text{中位数}$

   所以选项 D 正确：低分离群值拉动了平均数，却动不了中位数。

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   排除其余选项。 B 与 C 都和刚刚证明的严格不等式矛盾。A 也不对，因为众数是 $78$（出现次数最多的分数，占了全班一半），而平均数低于 $76 < 78$。

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   数值检验。 取 $N = 20$、$k = 3$：十个 $78$、三个 $55$、七个 $74$。平均数 $= \tfrac{780 + 165 + 518}{20} = 73.15$，中位数 $= 76$，众数 $= 78$。公式预测的是 $76 - \tfrac{57}{20} = 73.15$——完全吻合。