袋中有编号为 1、2、3 的三张卡片，每次抽出一张记下号码后放回，重复 5 次。求恰好记录到一次 3 的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认这是二项试验。 每次抽完都放回，所以 $5$ 次抽取相互独立，且每次出现 $3$ 的概率都是 $p=\tfrac13$。试验次数固定为 $n=5$，要数的又是成功次数，因此可以用二项分布模型：

   $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}$

2. 2

   先选出哪一次抽到 3。 这唯一的一次 $3$ 可以落在 $5$ 次抽取中的任何一次：

   $\binom{5}{1}=5$

   漏掉这个因子是最常见的错误，会让答案小 $5$ 倍。

3. 3

   再算某一种固定模式的概率。 固定是第几次抽到 $3$ 之后：那一次的概率是 $\tfrac13$，其余四次每次都必须是 $1$ 或 $2$，概率各为 $\tfrac23$：

   $\frac13\left(\frac23\right)^{4}=\frac13\cdot\frac{16}{81}=\frac{16}{243}$

4. 4

   合起来。

   $P=5\cdot\frac{16}{243}=\frac{80}{243}\approx 0.329$

   $\boxed{\dfrac{80}{243}}$

5. 5

   用整个二项分布来验证。 当 $k=0,\ldots,5$ 时，六个概率 $\binom5k(\tfrac13)^k(\tfrac23)^{5-k}$ 依次是 $\tfrac{32}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{40}{243},\tfrac{10}{243},\tfrac{1}{243}$，加起来正好是 $\tfrac{243}{243}=1$ ✓。而 $3$ 出现次数的期望是 $np=\tfrac53\approx 1.67$，所以 $k=1$ 是两个最可能的结果之一，这完全在意料之中。