学生完成测验的时间服从均值 58 分钟、标准差 12 分钟的正态分布。90% 的学生在多长时间内完成？

Step-by-step solution

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   先认出这是一道逆正态问题。 题目给的是概率，要求的是数值 —— 和常见的「求概率」方向正好相反。写成符号就是：求 $x$，使得

   $P(X \le x) = 0.90, \qquad X \sim N(\mu = 58,\ \sigma = 12)$

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   查出第 90 百分位数对应的 $z$ 值。 查标准正态分布表或用计算器：

   $z_{0.90} \approx 1.2816$

   （不少教材把它取成 $1.28$；这点差别会让最终答案偏移约 $0.02$ 分钟。）

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   把 $z$ 值换算回原来的单位。 把 $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$ 变形即得

   $x = \mu + z\sigma$

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   代入求值。

   $x = 58 + 1.2816 \times 12 = 58 + 15.38 = 73.38 \text{ 分钟}$

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   检查一下方向对不对。 第 90 百分位数必然落在均值之上，结果也确实如此 —— 大约高出 $1.28$ 个标准差。如果算出来的值反而小于 $58$，那多半是把 $z$ 的符号用反了。