三门炮相互独立地向同一目标射击，命中概率分别为 0.2、0.3 和 0.5。求（1）至少有一门炮命中目标的概率；（2）恰好有一门炮命中目标的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   给事件命名，并写出各自不中的概率。 设 $A_1,A_2,A_3$ 表示各门炮命中，$P(A_1)=0.2$，$P(A_2)=0.3$，$P(A_3)=0.5$。相互独立意味着概率可以直接相乘，而不中的概率是它们的对立事件：$0.8$、$0.7$ 和 $0.5$。

2. 2

   （1）用对立事件，而不是三个事件的并。 对三个事件用容斥原理要写七项；用对立事件只要一个乘积：

   $P(\text{至少一门命中})=1-P(\text{三门都不中})=1-(0.8)(0.7)(0.5)$

3. 3

   算出结果。

   $(0.8)(0.7)(0.5)=0.28\quad\Longrightarrow\quad P=1-0.28=0.72$

4. 4

   （2）列出恰好一门命中的三种互斥情形。 恰好一门命中，就是某一门中、另外两门都不中：

   $P=\underbrace{(0.2)(0.7)(0.5)}_{\text{只有第 1 门中}}+\underbrace{(0.8)(0.3)(0.5)}_{\text{只有第 2 门中}}+\underbrace{(0.8)(0.7)(0.5)}_{\text{只有第 3 门中}}$

   注意每一项里那门炮用的是自己的命中概率，另外两门用的是不中概率 —— 这里最容易写错。

5. 5

   把三项加起来。

   $0.07+0.12+0.28=0.47$

   $\boxed{P(\text{至少一门})=0.72,\qquad P(\text{恰好一门})=0.47}$

6. 6

   用完整分布来检验。 命中 $0,1,2,3$ 门的概率分别是 $0.28$、$0.47$、$0.22$ 和 $0.03$（命中两门：$0.2\cdot 0.3\cdot 0.5+0.2\cdot 0.7\cdot 0.5+0.8\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03+0.07+0.12=0.22$；命中三门：$0.2\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03$）。它们的和为 $1.00$ ✓，而 $0.47+0.22+0.03=0.72$ 正好重现了第（1）问的答案。