设 (X, Y) 的联合密度为 f(x,y) = A(2 − x − y)，其中 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ x，其余处为 0。(1) 求 A。(2) 求 P(2X − Y < 1)。(3) 求 F(1/2, 1/4) 与 F(1/2, −1)。

Step-by-step solution

1. 1

   （1）在正确的区域上用归一化条件。 密度的支撑集是三角形 $0\le y\le x\le 1$，所以先对 $y$ 从 $0$ 积到 $x$，再对 $x$ 从 $0$ 积到 $1$：

   $\int_{0}^{x}(2-x-y)\,dy=\left[(2-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=2x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}=2x-\frac32x^{2}$

2. 2

   完成归一化。

   $A\int_{0}^{1}\left(2x-\tfrac32x^{2}\right)dx=A\left[x^{2}-\tfrac12x^{3}\right]_{0}^{1}=A\left(1-\tfrac12\right)=\frac{A}{2}=1$

   $\boxed{A=2}$

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   （2）把事件成立的区域分块。 事件 $2X-Y<1$ 就是 $y>2x-1$。当 $x\le\tfrac12$ 时界 $2x-1$ 是 $\le 0$ 的，整条 $0\le y\le x$ 都满足；当 $x>\tfrac12$ 时只有 $2x-1<y\le x$ 满足。于是

   $P=\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx$

   这一问的全部难点就在于要在 $x=\tfrac12$ 处分块。

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   分别算出两块。 代入 $f=2(2-x-y)$，

   $\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx=\frac38,\qquad \int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx=\frac{5}{24}$

   $P\{2X-Y<1\}=\frac38+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.583$

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   （3）计算 F(1/2, 1/4)。 按定义 $F(u,v)=P\{X\le u,\ Y\le v\}$，所以要把密度在三角形中满足 $x\le\tfrac12$ 且 $y\le\tfrac14$ 的那部分上积分。这个区域同样要分块，分界在 $x=\tfrac14$：

   $F=\int_{0}^{1/4}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/4}^{1/2}\!\!\int_{0}^{1/4}f\,dy\,dx=\frac{7}{64}+\frac{3}{16}=\frac{7+12}{64}=\frac{19}{64}$

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   计算 F(1/2, −1)，一步积分都不用做。 支撑集要求 $y\ge 0$，所以事件 $\{Y\le -1\}$ 根本不可能发生：

   $F\left(\tfrac12,-1\right)=0$

   $\boxed{A=2,\quad P\{2X-Y<1\}=\tfrac{7}{12},\quad F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=\tfrac{19}{64},\quad F\left(\tfrac12,-1\right)=0}$

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   回头检查这三个数合不合理。 它们都落在 $[0,1]$ 里 ✓。又因为 $F(u,v)$ 关于每个自变量都单调不减，所以 $F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=0.297$ 必须不超过 $P\{X\le\tfrac12\}$；积分得 $P\{X\le\tfrac12\}=\tfrac38=0.375$ ✓。而 $P\{2X-Y<1\}=0.583$ 大于 $0.375$ 也是必然的，因为该事件把 $\{X\le\tfrac12\}$ 整个包含在内。