数据集 A 为 6, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 18，其均值为 12。求总体标准差。

Step-by-step solution

1. 1

   先验证题目报出的均值，再去用它。 这 $17$ 个数的总和为

   $\sum x = 204, \qquad \bar{x} = \frac{204}{17} = 12$

   所以均值确实正好是 $12$。这一点很关键：均值是整数，每个偏差就都是整数，整个计算过程可以完全不做四舍五入。

2. 2

   把偏差的平方列成表。 把相同的数值归到一起：

   $6 \rightarrow (-6)^2 = 36, \qquad 10 \ (\times 2) \rightarrow 4 \text{（每个）}, \qquad 11 \ (\times 3) \rightarrow 1 \text{（每个）}$

   $12 \ (\times 5) \rightarrow 0, \qquad 13 \ (\times 3) \rightarrow 1, \qquad 14 \ (\times 2) \rightarrow 4, \qquad 18 \rightarrow 36$

3. 3

   把它们加起来。

   $\sum (x - 12)^2 = 36 + 2(4) + 3(1) + 0 + 3(1) + 2(4) + 36 = 94$

   两个极端值 $6$ 和 $18$ 就贡献了 $94$ 里的 $72$——总离散程度的四分之三以上，只来自这十七个数据中的两个。

4. 4

   除以 n 得到总体方差。

   $\sigma^2 = \frac{94}{17} \approx 5.5294$

   这里用 $n = 17$ 而不是 $n - 1$，因为题目描述的是完整的数据集，而不是从更大总体中抽出的样本。

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   开平方。

   $\sigma = \sqrt{5.5294} \approx 2.35$

   作为对比，样本标准差会是 $s = \sqrt{94/16} \approx 2.42$。与本题措辞相符的是总体标准差 $2.35$。