一副 60 张的牌中有 11 张是做了记号的。先抽 5 张作为起手牌并在不看的情况下放到一边，再从剩下的 55 张里随机抽 3 张。求这 3 张中至少有一张有记号的概率。

Step-by-step solution

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   先处理起手牌——这正是本题的要害。 我们很容易想去按前五张里混进了几张记号牌来分类讨论。但这五张牌谁也没看过，而牌堆又是均匀洗过的，所以总共抽出的八张牌（先五张、再三张）不过是一个均匀随机的八张有序样本。由可交换性，第 6、7、8 个位置取到任何一个特定三元组的可能性，和第 1、2、3 个位置完全一样。

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   化归为普通的抽 3 张。 于是问题变成了：

   $P(\text{从整副 }60\text{ 张牌中抽 3 张、至少有一张有记号})$

   其中有 $11$ 张记号牌、$60-11=49$ 张无记号牌。

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   用对立事件。 「至少一张」是若干相互重叠事件的并，直接数很麻烦，改去数那个唯一好算的对立事件：

   $P(\text{至少一张})=1-P(\text{一张记号牌都没有})=1-\frac{\binom{49}{3}}{\binom{60}{3}}$

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   算这两个组合数。

   $\binom{49}{3}=\frac{49\cdot 48\cdot 47}{6}=18424,\qquad \binom{60}{3}=\frac{60\cdot 59\cdot 58}{6}=34220$

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   相减。

   $P=1-\frac{18424}{34220}=\frac{34220-18424}{34220}=\frac{15796}{34220}$

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   化成百分数。

   $\frac{15796}{34220}=0.461601\ldots\approx 46.2\%$

   对可交换性那一步再做个合理性检验：答案完全不依赖起手牌抽了几张——先抽 $0$ 张、$5$ 张还是 $20$ 张，再抽 $3$ 张，得到的都是同一个 $46.16\%$，只要这些牌一张都没被翻开看过。