一枚均匀骰子连掷 8 次。用概率空间描述这个随机试验，并求至少出现一次 6 的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   建立概率空间。 一个基本结果按先后顺序记录八次投掷的全部点数，所以

   $\Omega=\{1,\ldots,6\}^{8},\qquad |\Omega|=6^{8}=1\,679\,616,$

   并且因为骰子均匀、各次投掷相互独立，这里取等可能测度。

2. 2

   把「至少出现一次」换成它的对立事件。 如果去数出现一个、两个……一直到八个 6 的情形，就要把八个二项式项加起来。而对立事件只是单独一个事件：

   $P(\text{至少出现一次 }6)=1-P(\text{一次 }6\text{ 都没出现}).$

   题目里出现「至少一次」，几乎总是在提示我们改用对立事件。

3. 3

   算出一次 6 都没出现的概率。 每一次投掷避开 $6$ 的概率是 $\tfrac56$，而各次投掷相互独立，所以八次都避开的概率是

   $\left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\frac{390\,625}{1\,679\,616}=0.232568.$

4. 4

   用 1 减去它。

   $P(\text{至少出现一次 }6)=1-\frac{390\,625}{1\,679\,616}=\frac{1\,288\,991}{1\,679\,616}\approx 0.7674.$

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   看看结果是否合理。 出现 6 的次数的期望是 $8\times\tfrac16=1.33$，所以「至少出现一次」应当是很可能但远不是必然的事——$76.7\%$ 正好符合这个感觉。注意它不是 $8\times\tfrac16=133\%$；把有重叠的事件的概率直接相加是经典错误，而用对立事件恰好绕开了它。