15 名参与者在训练计划前后各测了一次 BMI。训练前：19.24, 20.50, 23.00, 31.90, 22.00, 34.30, 25.80, 23.70, 20.10, 32.40, 25.10, 25.00, 27.67, 23.48, 28.49。训练后：18.50, 19.50, 21.90, 27.00, 21.70, 33.70, 24.80, 22.50, 19.80, 31.20, 23.93, 23.00, 28.99, 24.30, 28.92。在 5% 显著性水平下检验该计划是否改变了平均 BMI。

Step-by-step solution

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   先认清这两列不是独立样本。 每一行都是同一个人测了两次，所以「训练前」和「训练后」的数字是成对关联的。用两样本 $t$ 检验会把它们当成 $30$ 个互不相关的观测，从而被人与人之间的巨大差异淹没（这里 BMI 从 $19$ 跨到 $34$）。改用这 $15$ 个差值，每个人自身的基线就被抵消了，只剩下训练计划的效应，这正是配对检验灵敏得多的原因。

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   构造差值 $d_i=\text{训练前}-\text{训练后}$。

   $0.74,\;1.00,\;1.10,\;4.90,\;0.30,\;0.60,\;1.00,\;1.20,\;0.30,\;1.20,\;1.17,\;2.00,\;-1.32,\;-0.82,\;-0.43$

   十五个中有十二个为正（BMI 下降了），三个为负。假设是针对平均差值 $\mu_d$ 提出的：

   $H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\neq 0$

3. 3

   计算差值的均值与标准差。 差值之和为 $382.68-369.74=12.94$，所以

   $\bar d=\frac{12.94}{15}=0.8627$

   $s_d=\sqrt{\frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{27.9933}{14}}=1.4140$

   分母要用 $n-1=14$ 而不是 $n$：样本均值已经从数据里拟合出来了，所以只有 $14$ 个离差是可以自由变动的。

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   把平均差值化成 $t$ 统计量。 $\bar d$ 的标准误是

   $s_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}=\frac{1.4140}{\sqrt{15}}=0.3651$

   $t=\frac{\bar d-0}{s_{\bar d}}=\frac{0.8627}{0.3651}=2.363$

   自由度 $df=n-1=14$。这个统计量说的无非是「观测到的下降幅度离零有几个标准误」。

5. 5

   与临界值比较，并读出 $p$ 值。 双侧检验、$\alpha=0.05$、自由度为 $14$ 时，临界值是 $t^{*}=2.145$。

   $|t|=2.363>2.145$

   对应的双侧 $p$ 值为 $p\approx 0.033$，小于 $0.05$。于是拒绝 $H_0$：BMI 的平均变化在统计上是显著的。

6. 6

   再报告一个置信区间，因为光有 $p$ 值看不出效应有多大。

   $\bar d\pm t^{*}s_{\bar d}=0.8627\pm 2.145(0.3651)=0.8627\pm 0.7832$

   $\mu_d\text{ 的 }95\%\text{ 置信区间：}\;(0.0795,\;1.6458)$

   区间不包含 $0$，与检验的结论一致。但它同时显示：下降幅度也可能小到只有 $0.08$ 个 BMI 点——在统计上能测出来，可在下限那一端几乎没有临床意义。另外还要注意，只有一组人测两次是没有对照组的，所以这个变化不能全部归功于该训练计划。