男性中 5% 是色盲，女性中 0.25% 是色盲，且男女各占人口的一半。随机抽取一人：(1) 此人是色盲的概率是多少？(2) 已知此人是色盲，他是男性的概率是多少？

Step-by-step solution

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   先约定记号，写出题目给的概率。 设 $M$ = 男性，$W$ = 女性，$B$ = 色盲。题目给出

   $P(M)=P(W)=0.5,\qquad P(B\mid M)=0.05,\qquad P(B\mid W)=0.0025$

   注意 $0.25\%=0.0025$，不是 $0.025$——这里差一个十倍，两问的答案都会跟着错。

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   （1）用全概率公式。 $M$ 与 $W$ 把整个人群分成互不重叠的两块，所以

   $P(B)=P(M)P(B\mid M)+P(W)P(B\mid W)$

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   算出第（1）问。

   $P(B)=0.5(0.05)+0.5(0.0025)=0.025+0.00125=0.02625$

   也就是人群中约 $2.6\%$ 是色盲——它落在男性的 $5\%$ 与女性的 $0.25\%$ 之间，很合理。

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   （2）用贝叶斯定理。 这一问把条件反了过来：

   $P(M\mid B)=\frac{P(M)P(B\mid M)}{P(B)}=\frac{0.025}{0.02625}$

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   算出第（2）问。 分子分母同乘 $10000$ 再约分，

   $\frac{250}{262.5}=\frac{2000}{2100}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$

   $\boxed{P(B)=0.02625,\qquad P(M\mid B)=\tfrac{20}{21}\approx 0.952}$

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   回头检查这个反转合不合理。 男性只占人群的一半，色盲者里却有 $95\%$ 是男性——这是因为男性的发生率是女性的 $20$ 倍。再用对立事件验证一下：$P(W\mid B)=\tfrac{0.00125}{0.02625}=\tfrac{1}{21}$，而 $\tfrac{20}{21}+\tfrac{1}{21}=1$ ✓。