盒子里有 5 个红球和 7 个蓝球。不放回地随机取出 5 个球。取到至少一个蓝球的概率是多少？

Step-by-step solution

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   先数清样本空间。 一共有 $5+7=12$ 个球，取球不计顺序且不放回，所以等可能的取法数是 $\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5!}=\frac{95040}{120}=792.$

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   改走对立事件，而不是逐类相加。 「至少一个蓝球」要把蓝球个数为 $1,2,3,4,5$ 的情形全部加起来——足足五项。而它的对立事件只有「一个蓝球都没有」这一种，也就是取出的五个球全是红球，于是对立事件公式 $P(\text{至少一个蓝球})=1-P(\text{没有蓝球})$ 就把五次计算压成了一次。

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   数出全红的取法。 红球恰好只有 $5$ 个，所以要取到 $5$ 个红球，就意味着把红球一个不剩地全取走：$\binom{5}{5}\binom{7}{0}=1\cdot 1=1.$ 这也解释了为什么本题的对立事件概率这么小——完全躲开蓝球只有唯一一种方式。

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   把概率拼起来。 $P(\text{没有蓝球})=\frac{1}{792},\qquad P(\text{至少一个蓝球})=1-\frac{1}{792}=\frac{792-1}{792}=\frac{791}{792}.$

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   解读这个数。 $\tfrac{791}{792}=0.998737\ldots\approx 99.87\%$。这和直觉是吻合的：蓝球本来就比红球多，而我们一次取走了将近半盒，想完全避开蓝球几乎不可能。