求 2.9、2.5、2.9 的标准差。

Step-by-step solution

1. 1

   先算均值，并把它保留成分数。 三个数里有两个是相同的：

   $\bar x=\frac{2.9+2.5+2.9}{3}=\frac{8.3}{3}=2.7\overline{6}\approx 2.76667$

   因为均值是循环小数，先把它四舍五入成 $2.77$ 再平方，误差会明显反映到答案上——至少保留五位小数，或者干脆用分数 $\tfrac{83}{30}$ 往下算。

2. 2

   求各数与均值的偏差。

   $2.9-\frac{83}{30}=\frac{87-83}{30}=\frac{4}{30}=0.13\overline{3}\quad(\text{两次}),\qquad 2.5-\frac{83}{30}=\frac{75-83}{30}=-\frac{8}{30}=-0.26\overline{6}$

   它们相加为 $\tfrac{4+4-8}{30}=0\;\checkmark$。

3. 3

   用分数把偏差平方后求和。

   $2\left(\frac{4}{30}\right)^2+\left(\frac{8}{30}\right)^2=\frac{32+64}{900}=\frac{96}{900}=\frac{8}{75}\approx 0.106667$

4. 4

   除以 $n-1$ 或除以 $n$。

   $s^2=\frac{8/75}{2}=\frac{4}{75}\approx 0.053333,\qquad \sigma^2=\frac{8/75}{3}=\frac{8}{225}\approx 0.035556$

5. 5

   开平方。

   $s=\sqrt{\frac{4}{75}}=\frac{2}{\sqrt{75}}\approx 0.23094,\qquad \sigma=\sqrt{\frac{8}{225}}=\frac{2\sqrt2}{15}\approx 0.18856$

   如果这三个数是样本，报告 $s\approx 0.231$；如果它们就是整个总体，报告 $\sigma\approx 0.189$。顺手检验一下：极差是 $2.9-2.5=0.4$，两个结果都明显小于它 $\checkmark$。