求 4, 8, 6, 5, 3 这组数据的标准差。

Step-by-step solution

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   先算均值——后面每一步都依赖它。

   $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$

   五个整数的均值不是整数，所以要原样保留 $5.2$，不要四舍五入成 $5$——这里一舍入，后面每个离差平方都会跟着失真。

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   把每个数与均值的离差平方。 离差可以是负的，平方正是为了去掉符号，免得它们互相抵消：

   $(4-5.2)^2 = 1.44, \quad (8-5.2)^2 = 7.84, \quad (6-5.2)^2 = 0.64$

   $(5-5.2)^2 = 0.04, \quad (3-5.2)^2 = 4.84$

3. 3

   相加得到离差平方和。

   $\sum (x - \bar{x})^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8$

   顺手验一下：原始离差 $-1.2, 2.8, 0.8, -0.2, -2.2$ 相加等于 $0$，均值算对了就必然如此。

4. 4

   定分母：用 n 还是 n − 1。 把这五个数当作整个总体，就除以 $n = 5$；当作从更大群体中抽出的样本，就除以 $n - 1 = 4$（贝塞尔校正，用来补偿均值是从同一批数据估出来的）：

   $\sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96, \qquad s^2 = \frac{14.8}{4} = 3.7$

5. 5

   开平方。

   $\sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72, \qquad s = \sqrt{3.7} \approx 1.92$

   数据这么短的时候，两个结果差得挺明显，所以一定要写清自己用的是哪种口径。教材里若只给出五个数、不加任何说明，通常要的是总体标准差 $1.72$。