某调查记录了 25 位顾客的年龄：20, 32, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 28, 12, 39, 23, 43, 47, 27, 26, 23, 32, 36, 33, 35, 42, 42, 43, 47。用 Tukey 法求第一四分位数和第三四分位数，并与把中位数排除在外的算法作比较。

Step-by-step solution

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   先排序——所有四分位数规则说到底都是关于位置的规则，顺序必须先定下来。

   $12,\ 15,\ 20,\ 23,\ 23,\ 26,\ 27,\ 28,\ 28,\ 30,\ 31,\ 32,\ \underline{32},\ 32,\ 33,\ 35,\ 35,\ 36,\ 39,\ 42,\ 42,\ 43,\ 43,\ 47,\ 47$

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   求中位数。 $n=25$ 是奇数，中位数就是正中间那一个数，位置为 $\frac{25+1}{2}=13$：

   $M=32$

   两种约定正是从这里分道扬镳的：中位数本身是一个真实存在的数据值，所以它到底算进下半部分、上半部分、两边都算还是两边都不算，确实存在选择。

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   用 Tukey 的规则：中位数两边都算。 Tukey 铰值定义为「含总中位数在内」的下半部分与上半部分各自的中位数。于是下半部分是前 $13$ 个数，上半部分是后 $13$ 个数：

   $\text{下半部分： } 12,\,15,\,20,\,23,\,23,\,26,\,\underline{27},\,28,\,28,\,30,\,31,\,32,\,32$

   $\text{上半部分： } 32,\,32,\,33,\,35,\,35,\,36,\,\underline{39},\,42,\,42,\,43,\,43,\,47,\,47$

   两半各有奇数个数，所以每个铰值又是单独的中间值——$13$ 个数里的第 $7$ 个：

   $Q_1=27,\qquad Q_3=39$

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   与大多数计算器和电子表格采用的「排除式」约定作比较。 把中位数从两半中都去掉，每边各剩 $12$ 个数，于是每个四分位数都是相邻两数的平均：

   $Q_1=\frac{26+27}{2}=26.5,\qquad Q_3=\frac{39+42}{2}=40.5$

   两个答案都「对」——它们是不同的定义，而不是算错了。只有 $n$ 为奇数时两者才可能不一致，因为只有这时才恰好有一个数据值落在中位数的位置上。

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   分别算出四分位距，看看影响。

   $\text{IQR}_{\text{Tukey}}=39-27=12,\qquad \text{IQR}_{\text{排除式}}=40.5-26.5=14$

   把中位数算进来会让两个铰值都向中心靠拢，所以 Tukey 规则给出的四分位距总是不大于排除式的结果。凡是建立在 IQR 之上的东西——箱线图的须、$1.5\,\text{IQR}$ 的异常值围栏——都会跟着变，所以报告里一定要写清用的是哪种约定。

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   算一下围栏，看看实际后果。 用 Tukey 的值，异常值围栏是 $27-1.5(12)=9$ 和 $39+1.5(12)=57$；用排除式的值则是 $26.5-1.5(14)=5.5$ 和 $40.5+1.5(14)=61.5$。在这组数据里两种规则都没有把 $25$ 个年龄中的任何一个判为异常值（极端值是 $12$ 和 $47$），所以约定的选择并不改变结论——但换成一组尾部更长的数据，结论就很可能不同了。