掷一枚均匀骰子四次。用概率空间描述这个随机试验，并求出现 1 至多三次的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   先建立概率空间。 一个样本点就是四次结果按顺序排成的序列，所以样本空间为

   $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{4},\qquad |\Omega|=6^{4}=1296.$

   骰子是均匀的、各次投掷相互独立，所以概率测度是等可能的：这 $1296$ 个样本点每个的概率都是 $\tfrac{1}{1296}$。

2. 2

   用对立事件改写所求事件。 记 $X$ 为四次投掷中出现 $1$ 的次数。「至多三次」就是 $X\in\{0,1,2,3\}$——要分四种情况。而它的对立事件只有 $X=4$ 这一种：

   $P(X\le 3)=1-P(X=4).$

   只算一项而不是四项，正是这里要用对立事件的全部理由。

3. 3

   数一数对立事件里有几个样本点。 $X=4$ 表示每次都掷出 $1$，恰好只有 $(1,1,1,1)$ 这一个样本点：

   $P(X=4)=\left(\frac{1}{6}\right)^{4}=\frac{1}{1296}.$

4. 4

   相减。

   $P(X\le 3)=1-\frac{1}{1296}=\frac{1295}{1296}\approx 0.99923.$

5. 5

   检查答案的量级是否合理。 连着四次都掷出 $1$ 是极小概率事件，所以「至多三次」应当几乎必然发生——$0.99923$ 正是如此。再交叉验证一下：用二项分布模型 $X\sim B(4,\tfrac16)$ 可得 $P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\tfrac16\right)^4\left(\tfrac56\right)^0=\tfrac{1}{1296}$，数值完全相同。