已知 X 服从均值为 55、标准差为 10 的正态分布，求 P(X > 58.253)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把临界值标准化。

   $z=\frac{58.253-55}{10}=\frac{3.253}{10}=0.3253$

   这个值只比均值高出约三分之一个标准差，所以右尾概率应当略小于 $0.5$。

2. 2

   把「大于」转换成累积面积。 标准正态分布表给出的是左尾面积，所以要取补：

   $P(X>58.253)=P(Z>0.3253)=1-\Phi(0.3253)$

   忘了这一步相减、直接把 $\Phi(z)$ 报上去，是右尾问题里最常犯的错误。

3. 3

   求 $\Phi$ 的值。

   $\Phi(0.3253)=0.62752$

   于是

   $P(X>58.253)=1-0.62752=0.37248$

4. 4

   取整并给出结论。

   $P(X>58.253)\approx 0.3725\quad\text{（约 }37.25\%\text{）}$

5. 5

   用几个标志性数值检验合理性。 $z=0$ 时右尾恰好是 $0.5$，$z=0.5$ 时是 $0.3085$。既然 $0.3253$ 落在 $0$ 与 $0.5$ 之间，答案就该落在 $0.3085$ 与 $0.5$ 之间——$0.3725$ 确实如此 $\checkmark$。由对称性，$P(X<51.747)$ 也等于同一个 $0.3725$。