数据组 A 为 6, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 18，数据组 B 为 6, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 17, 18。两组的均值都是 12。哪一组的波动更大？

Step-by-step solution

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   先看看两组数据有哪些共同点。 两组都是 $n = 17$ 个数、总和都是 $204$，所以均值都恰好是 $12$；而且都从 $6$ 一直取到 $18$——均值和极差完全一样。这两个指标都区分不开它们，这正是必须动用标准差的原因。

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   先算 A 组的离差平方和。 相对 $12$ 的离差大多是 $0$ 或 $\pm 1$，只有两个 $\pm 6$ 的极端值：

   $\sum (x-12)^2 = 36 + 2(4) + 3(1) + 0 + 3(1) + 2(4) + 36 = 94$

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   再算 B 组的离差平方和。 这一组的数值从 $6$ 到 $18$ 均匀排开，所以离差依次是 $-6, -5, -4, -3, -2, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$：

   $\sum (x-12)^2 = 2(36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1) + 1 + 1 = 184$

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   都换算成总体标准差。 两组用的是同一个除数 $n = 17$：

   $\sigma_A = \sqrt{\frac{94}{17}} = \sqrt{5.5294} \approx 2.35, \qquad \sigma_B = \sqrt{\frac{184}{17}} = \sqrt{10.8235} \approx 3.29$

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   比较结果，并解释差异从哪来。 因为 $3.29 > 2.35$，所以B 组的波动更大。从结构上看，A 组把大部分数据堆在 $11$–$13$ 之间，只留两个孤零零的极端值；而 B 组把数值均匀地铺满整个取值范围——于是 B 组里一个典型数据离 $12$ 的距离要远得多，尽管两组的均值、容量和极差都相同。