设 (X, Y) 的联合密度为：当 0 < x ≤ 1 且 0 ≤ y ≤ x 时 f(x, y) = cx，其余情形为 0。求 c、两个边缘密度，并判断 X 与 Y 是否独立。

Step-by-step solution

1. 1

   在这个三角形支撑集上做归一化。 先对 $y$ 积分最省事，因为内层积分里 $x$ 是常数：

   $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}cx\,dy\,dx=\int_{0}^{1}cx\cdot x\,dx=c\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{c}{3}=1$

   $c=3$

2. 2

   求 X 的边缘密度。 固定 $x\in(0,1]$，在切片 $0\le y\le x$ 上把 $y$ 积掉：

   $f_X(x)=\int_{0}^{x}3x\,dy=3x\cdot x=3x^{2},\qquad 0<x\le 1$

3. 3

   求 Y 的边缘密度。 固定 $y\in[0,1]$；支撑集要求 $x\ge y$，所以 $x$ 从 $y$ 变到 $1$：

   $f_Y(y)=\int_{y}^{1}3x\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}\right]_{y}^{1}=\frac32\left(1-y^{2}\right),\qquad 0\le y\le 1$

   把这一条的积分限定对——$x$ 从 $y$ 到 $1$，而不是从 $0$ 到 $1$——才是本题的关键所在。

4. 4

   把两个边缘密度乘起来，检验独立性。

   $f_X(x)f_Y(y)=3x^{2}\cdot\frac32\left(1-y^{2}\right)=\frac92x^{2}\left(1-y^{2}\right)$

   它并不等于 $f(x,y)=3x$。

5. 5

   给出更本质的结构性理由。 其实不必比较公式，光看支撑集就能定论：区域 $0\le y\le x$ 不是矩形，所以 $Y$ 的取值范围要依赖于 $X$ 取什么值。若要独立，支撑集必须是一个乘积集合。

   $\boxed{c=3;\ f_X(x)=3x^{2},\ f_Y(y)=\tfrac32\left(1-y^{2}\right);\ X\text{ 与 }Y\text{ 不独立}}$

6. 6

   检查两个边缘密度的积分是否都等于 1。 $\int_{0}^{1}3x^{2}dx=1$ ✓，$\int_{0}^{1}\tfrac32\left(1-y^{2}\right)dy=\tfrac32\left(1-\tfrac13\right)=1$ ✓，这同时确认了 $c$ 的取值和两处积分限的选择。